Примеры неразрешимых задач: однозначность грамматики — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(См. также)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 3 промежуточные версии 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Не существует алгоритма, определяющего по произвольной грамматике, является ли она неоднозначной (англ. ''ambiguous grammar'').
+
Не существует алгоритма, определяющего по произвольной грамматике, является ли она [[Существенно неоднозначные языки | неоднозначной]].
 
|proof=
 
|proof=
 
Будем доказывать от противного. Для этого произведем [[M-сводимость|m-сведение]] множества решений [[Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста|проблемы соответствий Поста]] к множеству решений нашей задачи. А так как множество решений ПСП неразрешимо, то из m-сведения будет следовать неразрешимость нашей задачи.
 
Будем доказывать от противного. Для этого произведем [[M-сводимость|m-сведение]] множества решений [[Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста|проблемы соответствий Поста]] к множеству решений нашей задачи. А так как множество решений ПСП неразрешимо, то из m-сведения будет следовать неразрешимость нашей задачи.
 
    
 
    
Пусть <tex> \Sigma </tex> {{---}} алфавит для экземпляра ПСП <tex>(x_1,\,x_2,\,...,\,x_n)</tex>, <tex>(y_1,\,y_2,\,...,\,y_n)</tex>. Рассмотрим грамматику <tex>L=\{\Sigma^{*}, N, P, S\}</tex>, где <tex> \Sigma^{*}= \Sigma+\{z_i\}</tex> и <tex>\{z_i\}=\{z_1,\,z_2,\,...,\,z_n\}</tex> {{---}} множество символов, не встречающихся в алфавите <tex> \Sigma</tex>. Символы <tex> \{z_i\} </tex> можно воспринимать как номера правил, по которым мы будем выводить слова в нашей грамматике.   
+
Пусть <tex> \Sigma </tex> {{---}} алфавит для экземпляра ПСП <tex>(x_1,\,x_2,\, \ldots ,\,x_n)</tex>, <tex>(y_1,\,y_2,\, \ldots ,\,y_n)</tex>. Рассмотрим грамматику <tex>L=\{\Sigma^{*}, N, P, S\}</tex>, где <tex> \Sigma^{*}= \Sigma+\{z_i\}</tex> и <tex>\{z_i\}=\{z_1,\,z_2,\, \ldots ,\,z_n\}</tex> {{---}} множество символов, не встречающихся в алфавите <tex> \Sigma</tex>. Символы <tex> \{z_i\} </tex> можно воспринимать как номера правил, по которым мы будем выводить слова в нашей грамматике.   
  
 
Зададим грамматику <tex>L</tex> следующими правилами:
 
Зададим грамматику <tex>L</tex> следующими правилами:
Строка 19: Строка 19:
 
<tex>B \rightarrow \varepsilon</tex>
 
<tex>B \rightarrow \varepsilon</tex>
  
 
+
Заметим, что любое слово <tex>w</tex>, выводимое в этой грамматике, может быть представлено в виде <tex>w=x_{i1}x_{i2} \ldots x_{ik}z_{ik}z_{ik-1} \ldots z_{i1}</tex> или <tex>w=y_{i1}y_{i2} \ldots y_{ik}z_{ik}z_{ik-1} \ldots z_{i1}</tex>, причем, если <tex>L</tex> неоднозначна, то слово можно вывести двумя способами, и тогда <tex>w=x_{i1}x_{i2} \ldots x_{ik}z_{ik}z_{ik-1} \ldots z_{i1} = y_{i1}y_{i2} \ldots y_{ik}z_{ik}z_{ik-1} \ldots z_{i1}</tex>. Так как это одно и тоже слово, то все <tex> z_{i} </tex> в этом слове равны. А каждое <tex> z_{i} </tex> однозначно задает правило, по которому мы выводили слово.  
Заметим, что любое слово <tex>w</tex>, выводимое в этой грамматике, может быть представлено в виде <tex>w=x_{i1}x_{i2}...x_{ik}z_{ik}z_{ik-1}...z_{i1}</tex> или <tex>w=y_{i1}y_{i2}...y_{ik}z_{ik}z_{ik-1}...z_{i1}</tex>, причем, если <tex>L</tex> неоднозначна, то слово можно вывести двумя способами, и тогда <tex>w=x_{i1}x_{i2}...x_{ik}z_{ik}z_{ik-1}...z_{i1} = y_{i1}y_{i2}...y_{ik}z_{ik}z_{ik-1}...z_{i1}</tex>. Так как это одно и тоже слово, то все <tex> z_{i} </tex> в этом слове равны. А каждое <tex> z_{i} </tex> однозначно задает правило, по которому мы выводили слово.  
 
  
 
Поэтому, если бы мы умели решать сформулированную нами ПСП, то могли бы сказать, однозначна грамматика или нет. То есть, если ПСП имеет решение, то мы можем восстановить два вывода слова. Если ПСП не имеет решения, то грамматика однозначна, и не существует двух выводов одного и того же слова. Таким образом, мы получили [[M-сводимость|m-сведение]] множества решений ПСП к множеству решений нашей задачи. А это значит, что задача об однозначности грамматики неразрешима.
 
Поэтому, если бы мы умели решать сформулированную нами ПСП, то могли бы сказать, однозначна грамматика или нет. То есть, если ПСП имеет решение, то мы можем восстановить два вывода слова. Если ПСП не имеет решения, то грамматика однозначна, и не существует двух выводов одного и того же слова. Таким образом, мы получили [[M-сводимость|m-сведение]] множества решений ПСП к множеству решений нашей задачи. А это значит, что задача об однозначности грамматики неразрешима.
Строка 29: Строка 28:
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%BA%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%BE-%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8,_%D0%B2%D1%8B%D0%B2%D0%BE%D0%B4,_%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%BE-_%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B2%D1%8B%D0%B2%D0%BE%D0%B4,_%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%B0 Контекстно-свободные грамматики]
+
* [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора | Контекстно-свободные грамматики]]
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8 Формальные грамматики]
+
* [[Формальные грамматики]]
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%98%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%80%D1%85%D0%B8%D1%8F_%D0%A5%D0%BE%D0%BC%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA Иерархия Хомского формальных грамматик]
+
* [[Иерархия Хомского формальных грамматик]]
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D0%B5_(%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5)_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA%D0%B8 Разрешимые языки]
+
* [[Разрешимые (рекурсивные) языки | Разрешимые языки]]
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=M-%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C m-сводимость]
+
* [[m-сводимость]]
* [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%D1%8B_%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D1%85_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87:_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D0%BE%D0%BE%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0 Проблема соответствий Поста]
+
* [[Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста | Проблема соответствий Поста]]
  
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==
 
* А. Маслов, Д. Стоцкий — Языки и автоматы. Издательство Мир, 1975, -361 с.
 
* А. Маслов, Д. Стоцкий — Языки и автоматы. Издательство Мир, 1975, -361 с.
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Ambiguous_grammar ambiguous grammar - Wikipedia]
+
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Ambiguous_grammar Wikipedia {{---}} Ambiguous grammar]
 
 
  
 +
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Теория вычислимости]]
 
[[Категория: Теория вычислимости]]
 +
[[Категория: Примеры неразрешимых задач]]

Текущая версия на 19:12, 4 сентября 2022

Теорема:
Не существует алгоритма, определяющего по произвольной грамматике, является ли она неоднозначной.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Будем доказывать от противного. Для этого произведем m-сведение множества решений проблемы соответствий Поста к множеству решений нашей задачи. А так как множество решений ПСП неразрешимо, то из m-сведения будет следовать неразрешимость нашей задачи.

Пусть [math] \Sigma [/math] — алфавит для экземпляра ПСП [math](x_1,\,x_2,\, \ldots ,\,x_n)[/math], [math](y_1,\,y_2,\, \ldots ,\,y_n)[/math]. Рассмотрим грамматику [math]L=\{\Sigma^{*}, N, P, S\}[/math], где [math] \Sigma^{*}= \Sigma+\{z_i\}[/math] и [math]\{z_i\}=\{z_1,\,z_2,\, \ldots ,\,z_n\}[/math] — множество символов, не встречающихся в алфавите [math] \Sigma[/math]. Символы [math] \{z_i\} [/math] можно воспринимать как номера правил, по которым мы будем выводить слова в нашей грамматике.

Зададим грамматику [math]L[/math] следующими правилами:

[math]S \rightarrow A [/math] [math] | B [/math]

[math]A \rightarrow x_iAz_i[/math]

[math]A \rightarrow \varepsilon[/math]

[math]B \rightarrow y_iBz_i[/math]

[math]B \rightarrow \varepsilon[/math]

Заметим, что любое слово [math]w[/math], выводимое в этой грамматике, может быть представлено в виде [math]w=x_{i1}x_{i2} \ldots x_{ik}z_{ik}z_{ik-1} \ldots z_{i1}[/math] или [math]w=y_{i1}y_{i2} \ldots y_{ik}z_{ik}z_{ik-1} \ldots z_{i1}[/math], причем, если [math]L[/math] неоднозначна, то слово можно вывести двумя способами, и тогда [math]w=x_{i1}x_{i2} \ldots x_{ik}z_{ik}z_{ik-1} \ldots z_{i1} = y_{i1}y_{i2} \ldots y_{ik}z_{ik}z_{ik-1} \ldots z_{i1}[/math]. Так как это одно и тоже слово, то все [math] z_{i} [/math] в этом слове равны. А каждое [math] z_{i} [/math] однозначно задает правило, по которому мы выводили слово.

Поэтому, если бы мы умели решать сформулированную нами ПСП, то могли бы сказать, однозначна грамматика или нет. То есть, если ПСП имеет решение, то мы можем восстановить два вывода слова. Если ПСП не имеет решения, то грамматика однозначна, и не существует двух выводов одного и того же слова. Таким образом, мы получили m-сведение множества решений ПСП к множеству решений нашей задачи. А это значит, что задача об однозначности грамматики неразрешима.

Получили, что не существует алгоритма, определяющего по произвольной грамматике, является ли она однозначной.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации