Изменения

Дана упорядоченная пара Даны два конечных последовательностей списка <tex>(A = (a_1, \ldotsdots, a_n), </tex> и <tex>B = (b_1 ,\ldots dots ,b_n))</tex>, где <tex>a_i \in \Sigma ^*</tex> и <tex>b_i \in \Sigma ^*</tex> для всех <tex>i</tex>. Вопрос существования непустой последовательности индексов <tex>(i_1 , \ldotsdots, i_k)</tex>, удовлетворяющей условию <tex>a_{i_1} \ldots dots a_{i_k} = b_{i_1} \ldots dots b_{i_k}</tex>, где <tex>1 \leq leqslant i_j \leq leqslant n</tex> для каждого всех <tex>j</tex>, называется '''проблемой соответствий Поста (ПСП)'''. Такую последовательность индексов, в случае её существования, называют '''решением проблемы соответствий Поста'''.

Докажем [[Разрешимые (рекурсивные) языки|неразрешимость]] языка ПСП следующим образом. Докажем, что универсальный язык [[M-сводимость|сводится]] к языку МПСП, который в свою очередь сводится к языку ПСП. При этом отметим, что для унарного алфавита ПСП разрешима. === Cведение МПСП к ПСП === Пусть даны списки <tex>A</tex> и <tex>B</tex> из условия МПСП. Построим два новых списка <tex>C</tex> и <tex>D</tex> и рассмотрим ПСП для них. Для этого введем два новых символа, которые не используются в словах из цепочек <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. Пусть для определенности это будут символы <tex>\#</tex> и <tex>\$</tex>. Тогда сформируем два новых списка <tex>C, D</tex> по следующим правилам:* для всех <tex>i = 1 \dots n</tex> возьмем <tex>c_i</tex> равное слову <tex>a_i</tex> с символом <tex>\#</tex> после каждого его символа. Например, для <tex>a_i = 10zx</tex> положим <tex>c_i = 1\#0\#z\#x\#</tex>,* для всех <tex>i = 1 \dots n</tex> возьмем <tex>d_i</tex> равное слову <tex>b_i</tex> с символом <tex>\#</tex> перед каждым его символом. Например, для <tex>b_i = 10zx</tex> положим <tex>d_i = \#1\#0\#z\#x</tex>,* <tex>c_0 = \#c_1</tex>,* <tex>d_0 = d_1</tex>,* <tex>c_{n+1} = \$</tex>,* <tex>d_{Утверждениеn+1} = \#\$</tex>.  {{Лемма|id=lemma-

Язык пар последовательностейМПСП для пары списков <tex>(A, B)</tex> сводится к ПСП для которых существует решение ПСПпары списков <tex>(C, перечислимD)</tex>.

Из определения [[M-сводимость|m-сведения]] следует, что мы должны доказать равносильность наличия решения для построенных экземпляров МПСП и ПСП. <tex>\Rightarrow</tex> Пусть даны последовательности набор индексов <tex>a(1, i_2, \dots, i_k)</tex> и — решение МПСП из условия леммы. То есть <tex>w_A = w_B</tex>, где  <tex>bw_A = a_1 a_{i_2} \dots a_{i_k}</tex> размера , <tex>nw_B = b_1 b_{i_2} \dots b_{i_k}</tex> из условия ПСП. Построим программу-полуразрешитель  Рассмотрев цепочки <tex>w_C</tex> и <tex>w_D</tex> c аналогичными индексами, заметим, что мы имеем почти равные цепочки с той лишь разницей, что первой не хватает символа <tex>p\#</tex>в начале, а второй — в конце. Конкретно, проверяющую все возможные решения: for <tex>m \# c_1 c_{i_2} \dots c_{i_k} = d_1 d_{i_2} \dots d_{i_k} \# </tex>. Изменив первый индекс с <tex>1 </tex> на <tex>0</tex>, решим проблему с символом <tex>\#</tex> в начале.Добавив индекс <tex>n+1</tex> к набору, решим проблему с символом <tex>\#</tex> в конце.  <tex> c_0 c_{i_2} \dots c_{i_k} c_{n+1} = d_0 d_{i_2} \inftydots d_{i_k} d_{n+1} </tex>. for all Итого, если <tex>(1, i_2, \dots, i_k)</tex> — решение исходной МПСП, то <tex>(i_10, i_2, \ldotsdots, i_mi_k, n+1)</tex> — решение построенной по правилам выше ПСП. <tex>\Leftarrow</tex> В любом существующем решении ПСП для списков <tex>C, D</tex> должны выполняться условия: * <tex>i_1 = 0</tex>, так как только в паре <tex>(c_1, d_1)</tex> первые символы совпадают,* последний индекс равен <tex>n+1</tex>, так как только в паре <tex>(c_{n+1}, d_{n+1 })</tex> строки заканчиваются одинаковыми символами. Пусть последовательность <tex>(0, i_2, i_3, \leq i_j \leq dots, i_k, n+ 1)</tex>является решением ПСП. Иными словами,  if <tex>a_c_0 c_{i_1i_2} \ldots a_dots c_{i_k} c_{i_mn+1} = b_d_0 d_{i_1i_2} \ldots b_dots d_{i_k} d_{i_mn+1}</tex>. return trueТаким образомЕсли <tex>i_f</tex> — наименьший индекс, равный <tex>n+1</tex>, то <tex>c_0 c_{i_2} \dots c_{i_f}</tex>, <tex>d_0 d_{i_2} \dots d_{i_f}</tex> — префиксы исходных конкатенаций до первого символа <tex>\$</tex>, следовательно, равны между собой. Последовательность <tex>(0, язык пар последовательностейi_{2} \dots, для которых существует i_f)</tex> — также решение ПСП, полуразрешимпричём первый индекс равен <tex>0</tex> и <tex>i_f = n + 1</tex>. Остальные индексы не превосходят <tex>n</tex>, но и не равны <tex>0</tex>, иначе в левой части равенства образуется подстрока из двух <tex>\#</tex> подряд, а значитв правой её не может быть. Учитывая эти ограничения, перечислим.}}перепишем получившееся равенство:

Для МПСП доказательство перечислимости имеющих решение пар аналогично, но перебор индексов ведётся с <tex>\# c_1 c_{i_2} \dots c_{i_{f-1}}\$</tex> <tex>=</tex> <tex>d_1 d_{i_2} \dots d_{i_{f-1}} \#\$</tex>.

{{Теорема|statement=МПСП неразрешима.|proof=Выполним [[M-сводимость|m-сведение]] множества пар Оставив из машины Тьюринга (МТ) <tex>M</tex> этих двух строк символы, стоящие на чётных позициях, и строки <tex>w</tex>, где удалив с конца <tex>M(w)\$</tex> не зависает, к множеству решений МПСП.получим

Назовём '''снимком''' состояния МТ строку вида <tex>c_1 c_2 a_1 a_{i_2} \ldots c_k dots a_{i_{f-1}} = b_1 b_{i_2} \#_p c_dots b_{i_{k+f-1} \ldots c_t</tex>, где <tex>c_1 c_2 \ldots c_t</tex> — строка на ленте без учёта пробелов, <tex>p</tex> — текущее состояние автомата МТ, <tex>\#_p}</tex> соответствует положению головки. Построим последовательности таким образом, чтобы решение МПСП образовывало строку

Итого, если <tex>(0, i_2, \$ snap_1 \$ snap_2 \$ \ldots \$ snap_n \$ snap_{n_{-dots, i_k, n+1)</tex> — решение ПСП, то <tex>(1}} , i_2, \$ snap_{n_{-2}} \$ \ldots \$ \#_{yes} \$ \$dots, i_k)</tex>,— решение исходной МПСП.}}

=== Сведение универсального языка к МПСП ==={{Определение|definition=Назовём '''снимком состояния [[Машина Тьюринга|МТ]]''' строку вида <tex>a_1 = c_1 c_2 \$ dots c_k \#__p c_{startk+1} w \$ dots c_t</tex>, где <tex>c_1 c_2 \dots c_t</tex>— строка на ленте, за исключением бесконечных последовательностей пробелов слева и справа, <tex>p</tex> — текущее состояние автомата МТ, головка расположена справа от <tex>b_1 = \$#_p</tex>;.}}Построим списки <tex>A</tex> и <tex>B</tex> таким образом, чтобы решение МПСП образовывало строку

для всех символов <tex>c\$ snap_1 \$ snap_2 \$ \dots \$ snap_n \$ snap_{n_{-1}} \$ snap_{n_{-2}} \$ \dots \$ \#_{yes} \$ \$</tex> алфавита ленты (за исключением пробела):,

где <tex>a_i = csnap_i</tex>— снимки последовательных состояний МТ от стартового до конечного, <tex>b_i = csnap_{n_{-t}}</tex>— последний снимок с <tex>t</tex> удалёнными символами, а <tex>\$</tex> — символ,не принадлежащий алфавиту ленты и алфавиту входных слов. Оговоримся, что отвергающего состояния <tex>no</tex> в автомате МТ не существует, а допуск происходит при попадании в состояние <tex>yes</tex>.

:1. <tex>a_1 = \$ \#_{start} w \$ </tex>, <tex>b_1 = \$</tex>. По определению МПСП эта пара всегда будет первой в любом решении.:2. <tex>a_i = c</tex>, <tex>b_i = c</tex> для всех символов <tex>c</tex> алфавита ленты.:3. <tex>a_i = \$</tex>, <tex>b_i = \$</tex>;.:4. <tex>a_i = \#_q e d</tex>, <tex>b_i = e \#_p c</tex> для всех правил <tex>M</tex> вида <tex>\delta (p, c) = \langle q, d, \leftarrow \rangle</tex> и для всех символов алфавита <tex>e</tex>.:5. <tex>a_i = d \#_q</tex>, <tex>b_i = \#_p c</tex> для всех правил <tex>M</tex> вида <tex>\delta (p, c) = \langle q, d, \rightarrow \rangle</tex>.:6. <tex>a_i = \#_q d</tex>, <tex>b_i = \#_p c</tex> для всех правил <tex>M</tex> вида <tex>\delta (p, c) = \langle q, d, \downarrow \rangle</tex>.

для всех Заметим, что все элементы <tex>A</tex> и <tex>B</tex>, кроме первых, имеют одинаковую длину. Значит, строка, составленная из элементов <tex>A</tex>, всегда оказывается длиннее. Если представить процесс формирования решения МПСП как динамический, то строка из элементов <tex>B</tex> вынуждена постоянно "догонять" первую. Более того, можно заметить, что вторая строка всегда будет отставать ровно на один снимок. Действительно, первая пара из списков <tex>A</tex> и <tex>B</tex> задает это отставание. Затем при помощи элементов из правил <tex>M4</tex> вида , <tex>5</tex> и <tex>6</tex>\delta (pмы имитируем переход машины Тьюринга, добавляя во вторую строку то состояние и положение головки, которые были до перехода, а в первую строку - то состояние, положение головки и новый ленточный символ, c) = \langle qкоторые стали после перехода. Нетрудно заметить, dчто тем самым строка составленная из элементов списка <tex>B</tex> будет соответствовать строке из элементов списка <tex>A</tex>, \leftarrow \rangleно с отставанием на один переход. Далее с помощью элементов из правил <tex>2</tex> и для всех символов алфавита <tex>e3</tex>:мы допишем в обе строки одинаковые суффиксы текущего снимка, разделитель <tex>\$</tex> и префикс нового снимка до следующего перехода машины Тьюринга. Таким образом если первая строка равна

<tex>a_i = \#_q e d$ snap_1 \$ snap_2 \$ \dots \$ snap_n \$</tex>, <tex>b_i = e \#_p c</tex>;

<tex>a_i = d \#_q$ snap_1 \$ snap_2 \$ \dots \$ snap_{n-1} \$</tex>, <tex>b_i = \#_p c</tex>;

<tex>a_i = \#_q d</tex>, <tex>b_i = $ snap_1 \$ snap_2 \$ \dots \$ snap_n \$ snap_{n+1} \#_p c$</tex>.

Такие последовательности позволяют сформировать строки <tex>\$ snap_1 \$ snap_2 \$ \ldots \$ snap_n \$</tex> (из <tex>a</tex>) и <tex>\$ snap_1 \$ snap_2 \$ \ldots \$ snap_{n-1} \$</tex> (из <tex>b</tex>) и только их, но решения МПСП быть не может, так как все члены последовательностей, кроме первого, имеют равную длину, и строка, составленная из элементов <tex>a</tex>, всегда оказывается длиннее.

Задача — получить равные строки, если состояние <tex>\#_$ snap_1 \$ snap_2 \$ \dots \$ snap_{yesn-1}\$ snap_n \$</tex> достижимо. Для этого добавим в уже имеющиеся последовательности следующие элементы:,

<tex>a_i = \#_{yes}</tex>Теперь стоит новая задача — получить равные строки, если состояние <tex>b_i = \#_{yes} c</tex>,достижимо. Для этого добавим в уже имеющиеся последовательности элементы по следующим правилам:

:7. <tex>a_i = \#_{yes}</tex>, <tex>b_i = \#_{yes} c</tex>, для всех символов <tex>c </tex> алфавита ленты.:8. <tex>a_i = \#_{yes}</tex>,<tex>b_i = c \#_{yes}</tex>, для всех символов <tex>c</tex> алфавита ленты.:9. <tex>a_i = \$'</tex>, <tex>b_i = \#_{yes} \$ \$'</tex>.

Если же допускающее состояние встретится, то "съедая" по одному символу с помощью элементов правил <tex>7</tex> и <tex>8</tex> и копируя все остальные с помощью элементов из правил <tex>a_i = \$2</tex>, и <tex>b_i = \#_{yes} \$ \$3</tex>.можно будет привести строки к виду

но только тогда, когда в <tex>\$ snap_1 \$ snap_2 \$ \dots \$ snap_n</tex> содержится <tex>\#_$ snap_{yesn_{-1}</tex>; другими словами, только тогда, когда автомат, принадлежащий <tex>M</tex>, допускает <tex>w</tex>. Таким образом, выполнено успешное m} \$ snap_{n_{-сведение множества пар из машины Тьюринга (МТ) <tex>M</tex> и строки <tex>w</tex>, где <tex>M(w)2}} \$ \dots \$ </tex> не зависает, к множеству решений МПСП.

Последовательности при строке Списки <tex>A</tex> и <tex>B</tex> для строки <tex>ab</tex> будут сформированы следующим образом:

{| borderclass="1wikitable" |Номер элемента |widthstyle="60text-align: center"|1 |width="60"|2 |width="60"|3 |width="60"|4 |width="60"|5 |width="60"|6 |width="60"|7 |width="60"|8 |width="60"|9 |width="60"|10 |width="60"|11

! Номер элемента ! <tex>A</tex> ! <tex>B</tex> |Последовательность a- |1

|Последовательность b |<tex>\$</tex> |<tex>a</tex>5 |<tex>b</tex> |<tex>\$#_{start}</tex>

|- |11 |<tex>\$'</tex> |<tex>\#_{yes} \$ \$'</tex>

{| borderclass="1wikitable" |- ! Шаг |! Индекс элемента |! Первая строка |! Вторая строка

|align="center" |1 |align="center" |1

|align="center" |2 |align="center" |5

|align="center" |3 |align="center" |3

|align="center" |4 |align="center" |4

|align="center" |5 |align="center" |3

|align="center" |6 |align="center" |6

|align="center" |7 |align="center" |4

|align="center" |8 |align="center" |8

|align="center" |9 |align="center" |3

|align="center" |10 |align="center" |4

|align="center" |11 |align="center" |10

|align="center" |12 |align="center" |4

|align="center" |13 |align="center" |11 |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$ \#_{yes} \$ \$'</tex> |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$ \#_{yes} \$ \$'</tex>

 {{ТеоремаЛемма

ПСП неразрешимаУниверсальный язык сводится к МПСП.

Выполним Из определения [[M-сводимость|m-сведениесведения]] множества решений МПСП к множеству решений ПСП. Пусть даны последовательности <tex>aследует, b</tex> из условия МПСП. Обозначим как <tex>left(wчто мы должны доказать, c)что машина Тьюринга </tex> и <tex>right(w, c)M</tex> строки, состоящие из символов допускает <tex>w</tex>тогда и только тогда, разделённых <tex>c</tex>: <tex>left(w, c) = c w_1 c w_2 \ldots c w_k</tex>, <tex>right(w, c) = w_1 c w_2 c \dots w_k c</tex>. Построим две новые последовательности <tex>a', b'</tex>:* <tex>a'_1 = \$ right(a_1, \$)</tex>, <tex>b'_1 = left(b_1, \$)</tex>;* <tex>\forall i = 1 .. n</tex>: <tex>a'_{i+1} = right(a_i, \$)</tex>, <tex>b'_{i+1} = left(b_i, \$)</tex>;* <tex>a'_{n+2} = \#</tex>, <tex>b'_{n+2} = \$ \#</tex>,где <tex>\$</tex>, <tex>\#</tex> — символы, не встречающиеся в словах исходных последовательностейкогда построенный экземпляр МПСП имеет решение.

Пусть Если <tex>w_a = a_1 a_{i_2} \ldots a_{i_k}w</tex>, допускается <tex>w_b = b_1 b_{i_2} \ldots b_{i_k}M</tex>, то можно проимитировать работу <tex>w_a = w_bM</tex>. Рассмотрим со входом <tex>w'_a = a'_1 a'_{i_2+1} \ldots a'_{i_k+1} a'_{n+2} = \$ right(a_1, \$) right(a_{i_2}, \$) \ldots right(a_{i_k}, \$) \#</tex>и, <tex>w'_b = b'_1 b'_{i_2+1} \ldots b'_{i_k+1} b'_{n+2} = left(b_1как показано в примере выше, \$) left(b_{i_2}, \$) \ldots left(b_{i_k}, \$) \$ \#</tex>. На чётных позициях в <tex>w'_a</tex> и <tex>w'_b</tex> стоят получить равные символы строки из элементов списков <tex>w_aA</tex> и <tex>w_b</tex>, а также <tex>\#</tex> (в конце); на нечётных — <tex>\$B</tex>. Следовательно, <tex>w'_a = w'_b</tex>, то То есть <tex>a'_1 a'_{i_2+1} \ldots a'_{i_k+1} a'_{n+2} = b'_1 b'_{i_2+1} \ldots b'_{i_k+1} b'_{n+2}</tex>найти решение МПСП.

В любом существующем решении ПСП для <tex>a'Поскольку все решения МПСП должны начинаться с первой пары, то длина соответствующих строк будет различаться, b'</tex> должны выполняться условия: * <tex>i_1 = 1</tex>и, так как только было сказано выше, если в паре первой строке никогда не будет символа <tex>(a'_1, b'_1)\#_{yes}</tex> первые символы совпадают;* последний индекс равен , то "сравнять" строки по длине не удастся. Значит, если МПСП имеет решение, то символ <tex>n+2\#_{yes}</tex>, так как только в паре рано или поздно появится. А значит и машина Тьюринга допустит <tex>(a'_{n+2}, b'_{n+2})w</tex> строки заканчиваются одинаковыми символами.

<tex>a'_1 a'_{i_2} \ldots a'_{i_k} Теорема|statement=ПСП не разрешима.|proof= b'_1 b'_{i_2Скомбинировав обе леммы, мы сведем универсальный язык к языку ПСП, а так как универсальный язык неразрешим, то и ПСП — неразрешима.} \ldots b'_{i_k}</tex>.

Если <tex>i_f</tex> — наименьший индекс, равный <tex>n+2</tex>, то <tex>a'_1 a'_{i_2} \ldots a'_{i_f}</tex>, <tex>b'_1 b'_{i_2} \ldots b'_{i_f}</tex> — префиксы исходных конкатенаций до первого символа <tex>\#</tex>, следовательно, равны между собой== См. <tex>i_1, \ldots, i_f</tex> — также решение ПСП, причём <tex>i_1 = 1</tex>, <tex>i_f = n + 2</tex>. Остальные индексы не превосходят <tex>n+1</tex>, но и не равны <tex>1</tex>, иначе * [[Неразрешимость исчисления предикатов первого порядка]]* [[Примеры неразрешимых задач: задача о выводе в левой части равенства образуется подстрока из двух <tex>\$</tex> подряд, а полусистеме Туэ|Задача о выводе в правой её не может быть. Учитывая эти ограничения, перепишем получившееся равенствополусистеме Туэ]]* [[Примеры неразрешимых задач: задача о замощении|Задача о замощении]]* [[Примеры неразрешимых задач:однозначность грамматики|Однозначность грамматики]]* [[Неразрешимость задачи об эквивалентности КС-грамматик]]* [[Неразрешимость проблемы существования решения диофантова уравнения в целых числах]]

<tex>\$ right(a_1== Источники информации ==* Хопкрофт Д., \$) right(a_{i_2-1}Мотвани Р., \$) \ldots right(a_{i_{f-1}-1}Ульман Д. Введение в теорию автоматов, \$) \#</tex> <tex>=</tex> <tex>left(b_1языков и вычислений, \$) left(b_{i_22-1}, \$) \ldots left(b_{i_{f-1}-1}, \$) \$ \#</tex>е изд. : Пер. Оставив из этих двух строк символы, стоящие на чётных позициях, и удалив с конца <tex>\#</tex>англ. — М.:Издательский дом «Вильямс», получим <tex>a_1 a_{i_22008. — С. 528. — ISBN 5-1} \ldots a_{i_{f8459-1}1347-1} = b_1 b_{i_2-1} \ldots b_{i_{f-1}-1}<0* [http://tex>en.}} По доказанному ранее, МПСП неразрешимаwikipedia. Тогда, вследствие теоремы для m-сведения, ПСП неразрешима.}}org/wiki/Post_correspondence_problem Wikipedia — Post correspondence problem]