Изменения

Дана упорядоченная пара Даны два конечных последовательностей списка <tex>(A = (a_1, \ldotsdots, a_n), </tex> и <tex>B = (b_1 ,\ldots dots ,b_n))</tex>, где <tex>a_i \in \Sigma ^*</tex> и <tex>b_i \in \Sigma ^*</tex> для всех <tex>i</tex>. Вопрос существования непустой последовательности индексов <tex>(i_1 , \ldotsdots, i_k)</tex>, удовлетворяющей условию <tex>a_{i_1} \ldots dots a_{i_k} = b_{i_1} \ldots dots b_{i_k}</tex>, где <tex>1 \leq leqslant i_j \leq leqslant n</tex> для каждого всех <tex>j</tex>, называется '''проблемой соответствий Поста (ПСП)'''. Такую последовательность индексов, в случае её существования, называют '''решением проблемы соответствий Поста'''.

== Примеры решений проблем соответствия Поста == === Пример 1 ==={{Определение|class="wikitable" style="text-align: center" |- !Номер элемента !<tex>1</tex> !<tex>2</tex> !<tex>3</tex> |- !<tex>A</tex> |<tex>01</tex> |<tex>1</tex> |<tex>011</tex> |- !<tex>B</tex> |<tex>101</tex> |<tex>11</tex> |<tex>01</tex> |definition=}Проблема Решение этой проблемы соответствий Постабудет являться последовательность индексов <tex>(3, 1, 3, для которой фиксирован элемент последовательности индексов 2)</tex>.Проверим это. <tex>i_1 sA = 011, 01, 011, 1</tex> <tex>sB = 01, 101, 01, 11</tex> Получаем то, называется '''модифицированной проблемой соответствий Поста что строки <tex>sA</tex> и <tex>sB</tex> равны, а значит последовательность индексов <tex>(МПСП3, 1, 3, 2)'''</tex> является решением этой проблемы соотвествий Поста. === Пример 2 ===Иногда возникает ситуация, когда решений конкретной проблемы соответствия Поста нет.{|class="wikitable" style="text-align: center" |- !Номер элемента !<tex>1</tex> !<tex>2</tex> !<tex>3</tex> |- !<tex>A</tex> |<tex>01</tex> |<tex>101</tex> |<tex>011</tex> |- !<tex>B</tex> |<tex>0</tex> |<tex>10</tex> |<tex>111</tex> |} Заметим, что если бы решение существовало оно должно было начинаться с индекса <tex>1</tex> или <tex>2</tex>.Но тогда строки получаемые из <tex>A</tex> всегда будут строго больше по длине, чем строки полученные из <tex>B</tex>, так как <tex> \mathrm{length}(A[i]) \geqslant \mathrm{length}(B[i])</tex> для всех <tex>i</tex>. Решения не существует. == Перечислимость языка ПСП ==

Язык пар последовательностей, для которых существует решение ПСП, [[Перечислимые языки | перечислим]].

Пусть даны последовательности Для списков <tex>aA</tex> и <tex>bB</tex> размера <tex>n</tex> из условия ПСП. Построим построим программу-полуразрешитель <tex>p</tex>, проверяющую все возможные решения: '''for ''' <tex>m = 1 .. \dots \infty</tex> for all '''foreach''' <tex>(i_1, i_2, \ldotsdots, i_m): 1 \leq leqslant i_j \leq leqslant n</tex> '''if ''' <tex>a_{i_1} \ldots dots a_{i_m} = b_{i_1} \ldots dots b_{i_m}</tex> '''return ''' ''true'' 

{{ТеоремаОпределение|definition=Проблема соответствий Поста, для которой фиксирован элемент последовательности индексов <tex>i_1 = 1</tex>, называется '''модифицированной проблемой соответствий Поста (МПСП)'''.}} Докажем [[Разрешимые (рекурсивные) языки|неразрешимость]] языка ПСП следующим образом. Докажем, что универсальный язык [[M-сводимость|сводится]] к языку МПСП, который в свою очередь сводится к языку ПСП. При этом отметим, что для унарного алфавита ПСП разрешима. === Cведение МПСП к ПСП === Пусть даны списки <tex>A</tex> и <tex>B</tex> из условия МПСП. Построим два новых списка <tex>C</tex> и <tex>D</tex> и рассмотрим ПСП для них. Для этого введем два новых символа, которые не используются в словах из цепочек <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. Пусть для определенности это будут символы <tex>\#</tex> и <tex>\$</tex>. Тогда сформируем два новых списка <tex>C, D</tex> по следующим правилам:* для всех <tex>i = 1 \dots n</tex> возьмем <tex>c_i</tex> равное слову <tex>a_i</tex> с символом <tex>\#</tex> после каждого его символа. Например, для <tex>a_i = 10zx</tex> положим <tex>c_i = 1\#0\#z\#x\#</tex>,* для всех <tex>i = 1 \dots n</tex> возьмем <tex>d_i</tex> равное слову <tex>b_i</tex> с символом <tex>\#</tex> перед каждым его символом. Например, для <tex>b_i = 10zx</tex> положим <tex>d_i = \#1\#0\#z\#x</tex>,* <tex>c_0 = \#c_1</tex>,* <tex>d_0 = d_1</tex>,* <tex>c_{n+1} = \$</tex>,* <tex>d_{n+1} = \#\$</tex>.  {{Лемма|id=lemma-

МПСП неразрешимадля пары списков <tex>(A, B)</tex> сводится к ПСП для пары списков <tex>(C, D)</tex>.

Выполним Из определения [[M-сводимость|m-сведениесведения]] множества пар из машины Тьюринга следует, что мы должны доказать равносильность наличия решения для построенных экземпляров МПСП и ПСП. <tex>\Rightarrow</tex> Пусть набор индексов <tex>(МТ1, i_2, \dots, i_k) </tex> — решение МПСП из условия леммы. То есть <tex>Mw_A = w_B</tex>, где  <tex>w_A = a_1 a_{i_2} \dots a_{i_k}</tex>, <tex>w_B = b_1 b_{i_2} \dots b_{i_k}</tex>. Рассмотрев цепочки <tex>w_C</tex> и строки <tex>ww_D</tex>c аналогичными индексами, где заметим, что мы имеем почти равные цепочки с той лишь разницей, что первой не хватает символа <tex>\#</tex> в начале, а второй — в конце. Конкретно, <tex>\# c_1 c_{i_2} \dots c_{i_k} = d_1 d_{i_2} \dots d_{i_k} \# </tex>. Изменив первый индекс с <tex>1</tex> на <tex>M(w)0</tex> не зависает, решим проблему с символом <tex>\#</tex> в начале. Добавив индекс <tex>n+1</tex> к множеству решений МПСПнабору, решим проблему с символом <tex>\#</tex> в конце. <tex> c_0 c_{i_2} \dots c_{i_k} c_{n+1} = d_0 d_{i_2} \dots d_{i_k} d_{n+1} </tex>.

Назовём '''снимком''' состояния МТ строку вида Итого, если <tex>c_1 c_2 \ldots c_k \#_p c_{k+(1} , i_2, \ldots c_t</tex>dots, где <tex>c_1 c_2 \ldots c_ti_k)</tex> — строка на ленте без учёта пробеловрешение исходной МПСП, то <tex>p</tex> — текущее состояние автомата МТ(0, i_2, <tex>\#_pdots, i_k, n+1)</tex> соответствует положению головки— решение построенной по правилам выше ПСП. Построим последовательности таким образом, чтобы решение МПСП образовывало строку

<tex>\$ snap_1 Leftarrow</tex> В любом существующем решении ПСП для списков <tex>C, D</tex> должны выполняться условия: * <tex>i_1 = 0</tex>, так как только в паре <tex>(c_1, d_1)</tex> первые символы совпадают,* последний индекс равен <tex>n+1</tex>, так как только в паре <tex>(c_{n+1}, d_{n+1})</tex> строки заканчиваются одинаковыми символами. Пусть последовательность <tex>(0, i_2, i_3, \dots, i_k, n + 1)</tex> является решением ПСП. Иными словами, <tex>c_0 c_{i_2} \dots c_{i_k} c_{n+1} = d_0 d_{i_2} \dots d_{i_k} d_{n+1}</tex>. Если <tex>i_f</tex> — наименьший индекс, равный <tex>n+1</tex>, то <tex>c_0 c_{i_2} \dots c_{i_f}</tex>, <tex>d_0 d_{i_2} \dots d_{i_f}</tex> — префиксы исходных конкатенаций до первого символа <tex>\$ snap_2 </tex>, следовательно, равны между собой. Последовательность <tex>(0, i_{2} \$ dots, i_f)</tex> — также решение ПСП, причём первый индекс равен <tex>0</tex> и <tex>i_f = n + 1</tex>. Остальные индексы не превосходят <tex>n</tex>, но и не равны <tex>0</tex>, иначе в левой части равенства образуется подстрока из двух <tex>\ldots #</tex> подряд, а в правой её не может быть. Учитывая эти ограничения, перепишем получившееся равенство: <tex>\$ snap_n # c_1 c_{i_2} \$ snap_dots c_{n_i_{f-1}} \$ snap_</tex> <tex>=</tex> <tex>d_1 d_{n_i_2} \dots d_{i_{f-21}} \#\$ \ldots </tex>. Оставив из этих двух строк символы, стоящие на чётных позициях, и удалив с конца <tex>\$ </tex>, получим <tex>a_1 a_{i_2} \#_dots a_{i_{f-1}} = b_1 b_{yesi_2} \$ dots b_{i_{f-1}}</tex>. Итого, если <tex>(0, i_2, \$dots, i_k, n+1)</tex>— решение ПСП, то <tex>(1, i_2,\dots, i_k)</tex> — решение исходной МПСП.}}

=== Сведение универсального языка к МПСП ==={{Определение|definition=Назовём '''снимком состояния [[Машина Тьюринга|МТ]]''' строку вида <tex>a_1 = c_1 c_2 \$ dots c_k \#__p c_{startk+1} w \$ dots c_t</tex>, где <tex>c_1 c_2 \dots c_t</tex>— строка на ленте, за исключением бесконечных последовательностей пробелов слева и справа, <tex>p</tex> — текущее состояние автомата МТ, головка расположена справа от <tex>b_1 = \$#_p</tex>;.}}Построим списки <tex>A</tex> и <tex>B</tex> таким образом, чтобы решение МПСП образовывало строку

для всех символов <tex>c\$ snap_1 \$ snap_2 \$ \dots \$ snap_n \$ snap_{n_{-1}} \$ snap_{n_{-2}} \$ \dots \$ \#_{yes} \$ \$</tex> алфавита ленты (за исключением пробела):,

где <tex>a_i = csnap_i</tex>— снимки последовательных состояний МТ от стартового до конечного, <tex>b_i = csnap_{n_{-t}}</tex>— последний снимок с <tex>t</tex> удалёнными символами, а <tex>\$</tex> — символ,не принадлежащий алфавиту ленты и алфавиту входных слов. Оговоримся, что отвергающего состояния <tex>no</tex> в автомате МТ не существует, а допуск происходит при попадании в состояние <tex>yes</tex>.

:1. <tex>a_1 = \$ \#_{start} w \$ </tex>, <tex>b_1 = \$</tex>. По определению МПСП эта пара всегда будет первой в любом решении.:2. <tex>a_i = c</tex>, <tex>b_i = c</tex> для всех символов <tex>c</tex> алфавита ленты.:3. <tex>a_i = \$</tex>, <tex>b_i = \$</tex>;.:4. <tex>a_i = \#_q e d</tex>, <tex>b_i = e \#_p c</tex> для всех правил <tex>M</tex> вида <tex>\delta (p, c) = \langle q, d, \leftarrow \rangle</tex> и для всех символов алфавита <tex>e</tex>.:5. <tex>a_i = d \#_q</tex>, <tex>b_i = \#_p c</tex> для всех правил <tex>M</tex> вида <tex>\delta (p, c) = \langle q, d, \rightarrow \rangle</tex>.:6. <tex>a_i = \#_q d</tex>, <tex>b_i = \#_p c</tex> для всех правил <tex>M</tex> вида <tex>\delta (p, c) = \langle q, d, \downarrow \rangle</tex>.

для всех Заметим, что все элементы <tex>A</tex> и <tex>B</tex>, кроме первых, имеют одинаковую длину. Значит, строка, составленная из элементов <tex>A</tex>, всегда оказывается длиннее. Если представить процесс формирования решения МПСП как динамический, то строка из элементов <tex>B</tex> вынуждена постоянно "догонять" первую. Более того, можно заметить, что вторая строка всегда будет отставать ровно на один снимок. Действительно, первая пара из списков <tex>A</tex> и <tex>B</tex> задает это отставание. Затем при помощи элементов из правил <tex>M4</tex> вида , <tex>5</tex> и <tex>6</tex>\delta (pмы имитируем переход машины Тьюринга, добавляя во вторую строку то состояние и положение головки, которые были до перехода, а в первую строку - то состояние, положение головки и новый ленточный символ, c) = \langle qкоторые стали после перехода. Нетрудно заметить, dчто тем самым строка составленная из элементов списка <tex>B</tex> будет соответствовать строке из элементов списка <tex>A</tex>, \leftarrow \rangleно с отставанием на один переход. Далее с помощью элементов из правил <tex>2</tex> и для всех символов алфавита <tex>e3</tex>:мы допишем в обе строки одинаковые суффиксы текущего снимка, разделитель <tex>\$</tex> и префикс нового снимка до следующего перехода машины Тьюринга. Таким образом если первая строка равна

<tex>a_i = \#_q e d$ snap_1 \$ snap_2 \$ \dots \$ snap_n \$</tex>, <tex>b_i = e \#_p c</tex>;

<tex>a_i = d \#_q$ snap_1 \$ snap_2 \$ \dots \$ snap_{n-1} \$</tex>, <tex>b_i = \#_p c</tex>;

<tex>a_i = \#_q d</tex>, <tex>b_i = $ snap_1 \$ snap_2 \$ \dots \$ snap_n \$ snap_{n+1} \#_p c$</tex>.

Такие последовательности позволяют сформировать строки <tex>\$ snap_1 \$ snap_2 \$ \ldots \$ snap_n \$</tex> (из <tex>a</tex>) и <tex>\$ snap_1 \$ snap_2 \$ \ldots \$ snap_{n-1} \$</tex> (из <tex>b</tex>) и только их, но решения МПСП быть не может, так как все члены последовательностей, кроме первого, имеют равную длину, и строка, составленная из элементов <tex>a</tex>, всегда оказывается длиннее.

Задача — получить равные строки, если состояние <tex>\#_$ snap_1 \$ snap_2 \$ \dots \$ snap_{yesn-1}\$ snap_n \$</tex> достижимо. Для этого добавим в уже имеющиеся последовательности следующие элементы:,

<tex>a_i = \#_{yes}</tex>Теперь стоит новая задача — получить равные строки, если состояние <tex>b_i = \#_{yes} c</tex>,достижимо. Для этого добавим в уже имеющиеся последовательности элементы по следующим правилам:

:7. <tex>a_i = \#_{yes}</tex>, <tex>b_i = \#_{yes} c</tex>, для всех символов <tex>c </tex> алфавита ленты.:8. <tex>a_i = \#_{yes}</tex>,<tex>b_i = c \#_{yes}</tex>, для всех символов <tex>c</tex> алфавита ленты.:9. <tex>a_i = \$'</tex>, <tex>b_i = \#_{yes} \$ \$'</tex>.

Если же допускающее состояние встретится, то "съедая" по одному символу с помощью элементов правил <tex>7</tex> и <tex>8</tex> и копируя все остальные с помощью элементов из правил <tex>a_i = \$2</tex>, и <tex>b_i = \#_{yes} \$ \$3</tex>.можно будет привести строки к виду

но только тогда, когда в <tex>\$ snap_1 \$ snap_2 \$ \dots \$ snap_n</tex> содержится <tex>\#_$ snap_{yesn_{-1}</tex>; другими словами, только тогда, когда автомат, принадлежащий <tex>M</tex>, допускает <tex>w</tex>. Таким образом, выполнено успешное m} \$ snap_{n_{-сведение множества пар из машины Тьюринга (МТ) <tex>M</tex> и строки <tex>w</tex>, где <tex>M(w)2}} \$ \dots \$ </tex> не зависает, к множеству решений МПСП.

Последовательности Списки <tex>A</tex> и <tex>B</tex> для строки <tex>ab</tex> будут сформированы следующим образом:

! Последовательность a<tex>A</tex> ! Последовательность b<tex>B</tex>

|<tex>\$'</tex> |<tex>\#_{yes} \$ \$'</tex>

{|class="wikitable" style="text-align: center"

|align="center" |1 |align="center" |1

|align="center" |2 |align="center" |5

|align="center" |3 |align="center" |3

|align="center" |4 |align="center" |4

|align="center" |5 |align="center" |3

|align="center" |6 |align="center" |6

|align="center" |7 |align="center" |4

|align="center" |8 |align="center" |8

|align="center" |9 |align="center" |3

|align="center" |10 |align="center" |4

|align="center" |11 |align="center" |10

|align="center" |12 |align="center" |4

|align="center" |13 |align="center" |11 |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$ \#_{yes} \$ \$'</tex> |<tex>\$ \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$ \#_{yes} \$ \$'</tex>

 {{ТеоремаЛемма

ПСП неразрешимаУниверсальный язык сводится к МПСП.

Выполним Из определения [[M-сводимость|m-сведениесведения]] множества решений следует, что мы должны доказать, что машина Тьюринга <tex>M</tex> допускает <tex>w</tex> тогда и только тогда, когда построенный экземпляр МПСП к множеству решений ПСПимеет решение.

Пусть Если <tex>w_a = a_1 a_{i_2} \ldots a_{i_k}w</tex>, допускается <tex>w_b = b_1 b_{i_2} \ldots b_{i_k}M</tex>, то можно проимитировать работу <tex>w_a = w_bM</tex>. Рассмотрим со входом <tex>w'_a = a'_1 a'_{i_2+1} \ldots a'_{i_k+1} a'_{n+2} = \$ right(a_1, \$) right(a_{i_2}, \$) \ldots right(a_{i_k}, \$) \#</tex>и, <tex>w'_b = b'_1 b'_{i_2+1} \ldots b'_{i_k+1} b'_{n+2} = left(b_1как показано в примере выше, \$) left(b_{i_2}, \$) \ldots left(b_{i_k}, \$) \$ \#</tex>. На чётных позициях в <tex>w'_a</tex> и <tex>w'_b</tex> стоят получить равные символы строки из элементов списков <tex>w_aA</tex> и <tex>w_b</tex>, а также <tex>\#</tex> (в конце); на нечётных — <tex>\$B</tex>. Следовательно, <tex>w'_a = w'_b</tex>, то То есть <tex>a'_1 a'_{i_2+1} \ldots a'_{i_k+1} a'_{n+2} = b'_1 b'_{i_2+1} \ldots b'_{i_k+1} b'_{n+2}</tex>найти решение МПСП.

В любом существующем решении ПСП для <tex>a'Поскольку все решения МПСП должны начинаться с первой пары, то длина соответствующих строк будет различаться, b'</tex> должны выполняться условия: * <tex>i_1 = 1</tex>и, так как только было сказано выше, если в паре первой строке никогда не будет символа <tex>(a'_1, b'_1)\#_{yes}</tex> первые символы совпадают;* последний индекс равен , то "сравнять" строки по длине не удастся. Значит, если МПСП имеет решение, то символ <tex>n+2\#_{yes}</tex>, так как только в паре рано или поздно появится. А значит и машина Тьюринга допустит <tex>(a'_{n+2}, b'_{n+2})w</tex> строки заканчиваются одинаковыми символами.

<tex>a'_1 a'_{i_2} \ldots a'_{i_k} Теорема|statement= b'_1 b'_{i_2} \ldots b'_{i_k}</tex>ПСП не разрешима.|proof=Если <tex>i_f</tex> — наименьший индексСкомбинировав обе леммы, равный <tex>n+2</tex>, то <tex>a'_1 a'_{i_2} \ldots a'_{i_f}</tex>, <tex>b'_1 b'_{i_2} \ldots b'_{i_f}</tex> — префиксы исходных конкатенаций до первого символа <tex>\#</tex>, следовательно, равны между собой. <tex>i_1, \ldots, i_f</tex> — также решение мы сведем универсальный язык к языку ПСП, причём <tex>i_1 = 1</tex>а так как универсальный язык неразрешим, <tex>i_f = n + 2</tex>. Остальные индексы не превосходят <tex>n+1</tex>, но то и не равны <tex>1</tex>, иначе в левой части равенства образуется подстрока из двух <tex>\$</tex> подряд, а в правой её не может бытьПСП — неразрешима. Учитывая эти ограничения, перепишем получившееся равенство: <tex>\$ right(a_1, \$) right(a_{i_2-1}, \$) \ldots right(a_{i_{f-1}-1}, \$) \#</tex> <tex>=</tex> <tex>left(b_1, \$) left(b_{i_2-1}, \$) \ldots left(b_{i_{f-1}-1}, \$) \$ \#</tex>. Оставив из этих двух строк символы, стоящие на чётных позициях, и удалив с конца <tex>\#</tex>, получим

<tex>a_1 a_{i_2-1} \ldots a_{i_{f-1}-1} = b_1 b_{i_2= См. также ==* [[Неразрешимость исчисления предикатов первого порядка]]* [[Примеры неразрешимых задач: задача о выводе в полусистеме Туэ|Задача о выводе в полусистеме Туэ]]* [[Примеры неразрешимых задач: задача о замощении|Задача о замощении]]* [[Примеры неразрешимых задач: однозначность грамматики|Однозначность грамматики]]* [[Неразрешимость задачи об эквивалентности КС-1} \ldots b_{i_{f-1}-1}</tex>.грамматик]]}}* [[Неразрешимость проблемы существования решения диофантова уравнения в целых числах]]

По доказанному ранее== Источники информации ==* Хопкрофт Д., Мотвани Р., МПСП неразрешимаУльман Д. ТогдаВведение в теорию автоматов, языков и вычислений, вследствие теоремы для m2-сведенияе изд. : Пер. с англ. — М.:Издательский дом «Вильямс», ПСП неразрешима2008. — С. 528.— ISBN 5-8459-1347-0}}* [http://en.wikipedia.org/wiki/Post_correspondence_problem Wikipedia — Post correspondence problem]