Изменения

Дана упорядоченная пара Даны два конечных последовательностей списка <tex>(A = (a_1, \ldotsdots, a_n), </tex> и <tex>B = (b_1 ,\ldots dots ,b_n))</tex>, где <tex>a_i \in \Sigma ^*</tex> и <tex>b_i \in \Sigma ^*</tex> для всех <tex>i</tex>. Вопрос существования непустой последовательности индексов <tex>(i_1 , \ldotsdots, i_k)</tex>, удовлетворяющей условию <tex>a_{i_1} \ldots dots a_{i_k} = b_{i_1} \ldots dots b_{i_k}</tex>, где <tex>1 \leq leqslant i_j \leq leqslant n</tex> для каждого всех <tex>j</tex>, называется '''проблемой соответствий Поста (ПСП)'''. Такую последовательность индексов, в случае её существования, называют '''решением проблемы соответствий Поста'''.

Докажем [[Разрешимые (рекурсивные) языки|неразрешимость]] языка ПСП следующим образом. Докажем, что универсальный язык [[M-сводимость|сводится]] к языку МПСП, который в свою очередь сводится к языку ПСП. При этом отметим, что для унарного алфавита ПСП разрешима. === Cведение МПСП к ПСП === Пусть даны списки <tex>A</tex> и <tex>B</tex> из условия МПСП. Построим два новых списка <tex>C</tex> и <tex>D</tex> и рассмотрим ПСП для них. Для этого введем два новых символа, которые не используются в словах из цепочек <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. Пусть для определенности это будут символы <tex>\#</tex> и <tex>\$</tex>. Тогда сформируем два новых списка <tex>C, D</tex> по следующим правилам:* для всех <tex>i = 1 \dots n</tex> возьмем <tex>c_i</tex> равное слову <tex>a_i</tex> с символом <tex>\#</tex> после каждого его символа. Например, для <tex>a_i = 10zx</tex> положим <tex>c_i = 1\#0\#z\#x\#</tex>,* для всех <tex>i = 1 \dots n</tex> возьмем <tex>d_i</tex> равное слову <tex>b_i</tex> с символом <tex>\#</tex> перед каждым его символом. Например, для <tex>b_i = 10zx</tex> положим <tex>d_i = \#1\#0\#z\#x</tex>,* <tex>c_0 = \#c_1</tex>,* <tex>d_0 = d_1</tex>,* <tex>c_{n+1} = \$</tex>,* <tex>d_{Теоремаn+1} = \#\$</tex>.  {{Лемма|id=lemma-

Язык пар последовательностейМПСП для пары списков <tex>(A, B)</tex> сводится к ПСП для которых существует решение ПСПпары списков <tex>(C, перечислимD)</tex>.

Пусть даны последовательности Из определения [[M-сводимость|m-сведения]] следует, что мы должны доказать равносильность наличия решения для построенных экземпляров МПСП и ПСП. <tex>a\Rightarrow</tex> и  Пусть набор индексов <tex>b(1, i_2, \dots, i_k)</tex> размера — решение МПСП из условия леммы. То есть <tex>nw_A = w_B</tex> из условия ПСП. Построим программу-полуразрешитель , где  <tex>pw_A = a_1 a_{i_2} \dots a_{i_k}</tex>, проверяющую все возможные решения: for <tex>m w_B = 1 .. b_1 b_{i_2} \inftydots b_{i_k}</tex>. for all Рассмотрев цепочки <tex>w_C</tex> и <tex>(i_1w_D</tex> c аналогичными индексами, i_2заметим, \ldotsчто мы имеем почти равные цепочки с той лишь разницей, i_m): 1 что первой не хватает символа <tex>\leq i_j \leq n#</tex>в начале, а второй — в конце. Конкретно,  if <tex>a_\# c_1 c_{i_1i_2} \ldots a_dots c_{i_mi_k} = b_d_1 d_{i_1i_2} \ldots b_dots d_{i_mi_k}\# </tex>. return trueТаким образомИзменив первый индекс с <tex>1</tex> на <tex>0</tex>, язык пар последовательностейрешим проблему с символом <tex>\#</tex> в начале. Добавив индекс <tex>n+1</tex> к набору, для которых существует решение ПСП, полуразрешим, а значит и перечислимрешим проблему с символом <tex>\#</tex> в конце. <tex> c_0 c_{i_2}\dots c_{i_k} c_{n+1}= d_0 d_{i_2} \dots d_{i_k} d_{n+1} </tex>.

Для Итого, если <tex>(1, i_2, \dots, i_k)</tex> — решение исходной МПСП доказательство перечислимости имеющих решение пар аналогично, но перебор индексов ведётся с то <tex>(0, i_2, \dots, i_k, n+1)</tex>— решение построенной по правилам выше ПСП.

{{Теорема|statement=МПСП неразрешима.|proof=Выполним [[M-сводимость|m-сведение]] множества пар из машины Тьюринга (МТ) <tex>M\Leftarrow</tex> и строки <tex>w</tex>, где <tex>M(w)</tex> не зависает, к множеству решений МПСП.

Назовём '''снимком''' состояния МТ строку вида В любом существующем решении ПСП для списков <tex>c_1 c_2 \ldots c_k \#_p c_{k+1} \ldots c_tC, D</tex> должны выполняться условия: * <tex>i_1 = 0</tex>, где так как только в паре <tex>(c_1 c_2 \ldots c_t, d_1)</tex> — строка на ленте, за исключением бесконечных последовательностей пробелов слева и справапервые символы совпадают, * последний индекс равен <tex>pn+1</tex> — текущее состояние автомата МТ, головка расположена справа от так как только в паре <tex>\#_p(c_{n+1}, d_{n+1})</tex>строки заканчиваются одинаковыми символами. Построим последовательности таким образом, чтобы решение МПСП образовывало строку

Пусть последовательность <tex>(0, i_2, i_3, \$' snap_1 \$ snap_2 \$ \ldots \$ snap_n \$ snap_{n_{-dots, i_k, n + 1}} \$ snap_{n_{-2}} \$ \ldots \$ \#_{yes} \$ \$')</tex>является решением ПСП. Иными словами,

где <tex>snap_i</tex> — снимки последовательных состояний МТ от стартового до конечного, <tex>snap_c_0 c_{i_2} \dots c_{i_k} c_{n+1} = d_0 d_{n_i_2} \dots d_{-ti_k}d_{n+1}</tex> — последний снимок с <tex>t</tex> удалёнными символами. Оговоримся, что состояния <tex>no</tex> в автомате МТ не существует (его роль может выполнять сток), допуск происходит при попадании в состояние <tex>yes</tex>.

Сформируем последовательности Если <tex>ai_f</tex> — наименьший индекс, равный <tex>n+1</tex>, то <tex>c_0 c_{i_2} \dots c_{i_f}</tex>, <tex>d_0 d_{i_2} \dots d_{i_f}</tex> — префиксы исходных конкатенаций до первого символа <tex>\$</tex>, следовательно, равны между собой. Последовательность <tex>(0, i_{2} \dots, i_f)</tex> — также решение ПСП, причём первый индекс равен <tex>0</tex> и <tex>bi_f = n + 1</tex> по МТ . Остальные индексы не превосходят <tex>Mn</tex> , но и строке не равны <tex>0</tex>, иначе в левой части равенства образуется подстрока из двух <tex>w\#</tex>подряд, а в правой её не может быть.Учитывая эти ограничения, перепишем получившееся равенство:

<tex>a_1 = \$' # c_1 c_{i_2} \#_dots c_{i_{startf-1}} w \$ </tex>, <tex>b_1 = </tex> <tex>d_1 d_{i_2} \dots d_{i_{f-1}} \#\$'</tex>;.

для всех символов Оставив из этих двух строк символы, стоящие на чётных позициях, и удалив с конца <tex>c\$</tex> алфавита ленты:, получим

<tex>a_i a_1 a_{i_2} \dots a_{i_{f-1}} = cb_1 b_{i_2} \dots b_{i_{f-1}}</tex>, <tex>b_i = c</tex>,.

=== Сведение универсального языка к МПСП ==={{Определение|definition=Назовём '''снимком состояния [[Машина Тьюринга|МТ]]''' строку вида <tex>a_i = c_1 c_2 \dots c_k \#_q e d_p c_{k+1} \dots c_t</tex>, где <tex>c_1 c_2 \dots c_t</tex> — строка на ленте, за исключением бесконечных последовательностей пробелов слева и справа, <tex>p</tex> — текущее состояние автомата МТ, головка расположена справа от <tex>b_i = e \#_p c</tex>;.}}Построим списки <tex>A</tex> и <tex>B</tex> таким образом, чтобы решение МПСП образовывало строку

для всех правил <tex>M</tex> вида <tex>\delta (p, c) = $ snap_1 \$ snap_2 \$ \dots \$ snap_n \$ snap_{n_{-1}} \$ snap_{n_{-2}} \$ \dots \$ \langle q, d, #_{yes} \rightarrow $ \rangle$</tex>:,

где <tex>snap_i</tex> — снимки последовательных состояний МТ от стартового до конечного, <tex>snap_{n_{-t}}</tex> — последний снимок с <tex>t</tex> удалёнными символами, а <tex>a_i = d \#_q$</tex> — символ, не принадлежащий алфавиту ленты и алфавиту входных слов. Оговоримся, что отвергающего состояния <tex>no</tex>в автомате МТ не существует, а допуск происходит при попадании в состояние <tex>b_i = \#_p cyes</tex>;.

для всех правил Сформируем списки <tex>A</tex> и <tex>B</tex> по МТ <tex>M</tex> вида и входной строке <tex>\delta (p, c) = \langle q, d, \downarrow \ranglew</tex>. Будем добавлять пары цепочек в эти списки по следующим правилам:

:1. <tex>a_1 = \$ \#_{start} w \$ </tex>, <tex>b_1 = \$</tex>. По определению МПСП эта пара всегда будет первой в любом решении.:2. <tex>a_i = c</tex>, <tex>b_i = c</tex> для всех символов <tex>c</tex> алфавита ленты.:3. <tex>a_i = \$</tex>, <tex>b_i = \$</tex>.:4. <tex>a_i = \#_q e d</tex>, <tex>b_i = e \#_p c</tex> для всех правил <tex>M</tex> вида <tex>\delta (p, c) = \langle q, d, \leftarrow \rangle</tex> и для всех символов алфавита <tex>e</tex>.:5. <tex>a_i = d \#_q</tex>, <tex>b_i = \#_p c</tex> для всех правил <tex>M</tex> вида <tex>\delta (p, c) = \langle q, d, \rightarrow \rangle</tex>.:6. <tex>a_i = \#_q d</tex>, <tex>b_i = \#_p c</tex> для всех правил <tex>M</tex> вида <tex>\delta (p, c) = \langle q, d, \downarrow \rangle</tex>.

Заметим, что все элементы <tex>aA</tex> и <tex>bB</tex>, кроме первых, имеют одинаковую длину. Значит, строка, составленная из элементов <tex>aA</tex>, всегда оказывается длиннее. Если представить процесс формирования решения МПСП как динамический, вторая то строка из элементов <tex>B</tex> вынуждена постоянно «догонять» "догонять" первую. Более того, можно доказать по индукциизаметить, что вторая строка всегда будет отставать ровно на один снимок. Действительно, первая пара из списков <tex>A</tex> и <tex>B</tex> задает это отставание. Затем при помощи элементов из правил <tex>4</tex>, <tex>5</tex> и <tex>6</tex> мы имитируем переход машины Тьюринга, добавляя во вторую строку то состояние и положение головки, которые были до перехода, а в первую строку - то состояние, положение головки и новый ленточный символ, которые стали после перехода. Нетрудно заметить, что тем самым строка составленная из элементов списка <tex>B</tex> будет соответствовать строке из элементов списка <tex>A</tex>, но с отставанием на один переход. Далее с помощью элементов из правил <tex>2</tex> и <tex>3</tex> мы допишем в обе строки одинаковые суффиксы текущего снимка, разделитель <tex>\$</tex> и префикс нового снимка до следующего перехода машины Тьюринга. Таким образом если первая строка имеет видравна

<tex>\$' snap_1 \$ snap_2 \$ \ldots dots \$ snap_n \$</tex>,

<tex>\$' snap_1 \$ snap_2 \$ \ldots dots \$ snap_{n-1} \$</tex>,

<tex>\$' snap_1 \$ snap_2 \$ \ldots dots \$ snap_n \$ snap_{n+1} \$</tex>

<tex>\$' snap_1 \$ snap_2 \$ \ldots dots \$ snap_{n-1} \$ snap_n \$</tex>,

Задача Теперь стоит новая задача — получить равные строки, если состояние <tex>\#_{yes}</tex> достижимо. Для этого добавим в уже имеющиеся последовательности следующие элементыпо следующим правилам:

:7. <tex>a_i = \#_{yes}</tex>, <tex>b_i = \#_{yes} c</tex>, для всех символов <tex>c</tex> алфавита ленты.:8. <tex>a_i = \#_{yes}</tex>, <tex>b_i = c \#_{yes}</tex>, для всех символов <tex>c</tex> алфавита ленты.:9. <tex>a_i = \$'</tex>, <tex>b_i = \#_{yes} \$ \$'</tex>.

Если состояние <tex>a_i = \#_{yes}</tex>недостижимо, в первой строке никогда не будет символа <tex>b_i = \#_{yes} c</tex>,и ни одним из новых элементов воспользоваться не удастся. Значит, строки всегда будут иметь различную длину.

Если же допускающее состояние встретится, то "съедая" по одному символу с помощью элементов правил <tex>a_i = \#_{yes}7</tex>, и <tex>8</tex> и копируя все остальные с помощью элементов из правил <tex>2</tex> и <tex>b_i = c \#_{yes}3</tex>,можно будет привести строки к виду

<tex>a_i = \$'</tex>, <tex>b_i = \#_{yes} \$ \$'</tex>. Если состояние <tex>yes</tex> недостижимо, в первой строке никогда не будет символа <tex>\#_{yes}</tex>, и ни одним из новых элементов воспользоваться не удастся. Значит, строки всегда будут иметь различную длину. Если же допускающее состояние встретится, с помощью новых элементов можно будет привести обе строки к виду

<tex>\$' snap_1 \$ snap_2 \$ \ldots dots \$ snap_n \$ snap_{n_{-1}} \$ snap_{n_{-2}} \$ \ldots dots \$ \#_{yes} \$ \$'</tex>.

Другими словамиИ наконец, «сравнять» строки возможно тогда и только тогда, когда автомат, принадлежащий <tex>M</tex>, допускает <tex>w</tex>. Таким образом, выполнено успешное m-сведение множества пар с помощью элементов из машины Тьюринга (МТ) правила <tex>M9</tex> и сравняем строки <tex>w</tex>, где <tex>M(w)</tex> не зависает, к множеству решений МПСП. }}

Последовательности Списки <tex>A</tex> и <tex>B</tex> для строки <tex>ab</tex> будут сформированы следующим образом:

! Последовательность a<tex>A</tex> ! Последовательность b<tex>B</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$</tex> |<tex>\$'</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$</tex> |<tex>\$'</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start}</tex> |<tex>\$' \#_{start} a</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab \$</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab \$ b</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b \$</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes}</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes}</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes} b</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes} b \$</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$ \#_{yes}</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b\$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$ \#_{yes} \$</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$</tex>

|<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$ \#_{yes} \$ \$'</tex> |<tex>\$' \#_{start} ab \$ b \#_{start} b \$ b \#_{yes} b \$ \#_{yes} b \$ \#_{yes} \$ \$'</tex>

 {{ТеоремаЛемма

ПСП неразрешимаУниверсальный язык сводится к МПСП.

Выполним Из определения [[M-сводимость|m-сведениесведения]] множества решений МПСП к множеству решений ПСП. Пусть даны последовательности <tex>aследует, b</tex> из условия МПСП. Обозначим как <tex>left(wчто мы должны доказать, c)что машина Тьюринга </tex> и <tex>right(w, c)M</tex> строки, состоящие из символов допускает <tex>w</tex>тогда и только тогда, разделённых <tex>c</tex>: <tex>left(w, c) = c w_1 c w_2 \ldots c w_k</tex>, <tex>right(w, c) = w_1 c w_2 c \dots w_k c</tex>. Построим две новые последовательности <tex>a', b'</tex>:* <tex>a'_1 = \$ right(a_1, \$)</tex>, <tex>b'_1 = left(b_1, \$)</tex>;* <tex>\forall i = 1 .. n</tex>: <tex>a'_{i+1} = right(a_i, \$)</tex>, <tex>b'_{i+1} = left(b_i, \$)</tex>;* <tex>a'_{n+2} = \#</tex>, <tex>b'_{n+2} = \$ \#</tex>,где <tex>\$</tex>, <tex>\#</tex> — символы, не встречающиеся в словах исходных последовательностейкогда построенный экземпляр МПСП имеет решение.

Пусть Если <tex>w_a = a_1 a_{i_2} \ldots a_{i_k}w</tex>, допускается <tex>w_b = b_1 b_{i_2} \ldots b_{i_k}M</tex>, то можно проимитировать работу <tex>w_a = w_bM</tex>. Рассмотрим со входом <tex>w'_a = a'_1 a'_{i_2+1} \ldots a'_{i_k+1} a'_{n+2} = \$ right(a_1, \$) right(a_{i_2}, \$) \ldots right(a_{i_k}, \$) \#</tex>и, <tex>w'_b = b'_1 b'_{i_2+1} \ldots b'_{i_k+1} b'_{n+2} = left(b_1как показано в примере выше, \$) left(b_{i_2}, \$) \ldots left(b_{i_k}, \$) \$ \#</tex>. На чётных позициях в <tex>w'_a</tex> и <tex>w'_b</tex> стоят получить равные символы строки из элементов списков <tex>w_aA</tex> и <tex>w_b</tex>, а также <tex>\#</tex> (в конце); на нечётных — <tex>\$B</tex>. Следовательно, <tex>w'_a = w'_b</tex>, то То есть <tex>a'_1 a'_{i_2+1} \ldots a'_{i_k+1} a'_{n+2} = b'_1 b'_{i_2+1} \ldots b'_{i_k+1} b'_{n+2}</tex>найти решение МПСП.

В любом существующем решении ПСП для <tex>a'Поскольку все решения МПСП должны начинаться с первой пары, то длина соответствующих строк будет различаться, b'</tex> должны выполняться условия: * <tex>i_1 = 1</tex>и, так как только было сказано выше, если в паре первой строке никогда не будет символа <tex>(a'_1, b'_1)\#_{yes}</tex> первые символы совпадают;* последний индекс равен , то "сравнять" строки по длине не удастся. Значит, если МПСП имеет решение, то символ <tex>n+2\#_{yes}</tex>, так как только в паре рано или поздно появится. А значит и машина Тьюринга допустит <tex>(a'_{n+2}, b'_{n+2})w</tex> строки заканчиваются одинаковыми символами.

<tex>a'_1 a'_{i_2} \ldots a'_{i_k} Теорема|statement= b'_1 b'_{i_2} \ldots b'_{i_k}</tex>. Если <tex>i_f</tex> — наименьший индекс, равный <tex>n+2</tex>, то <tex>a'_1 a'_{i_2} \ldots a'_{i_f}</tex>, <tex>b'_1 b'_{i_2} \ldots b'_{i_f}</tex> — префиксы исходных конкатенаций до первого символа <tex>\#</tex>, следовательно, равны между собой. <tex>i_1, \ldots, i_f</tex> — также решение ПСП, причём <tex>i_1 = 1</tex>, <tex>i_f = n + 2</tex>. Остальные индексы не превосходят <tex>n+1</tex>, но и не равны <tex>1</tex>, иначе в левой части равенства образуется подстрока из двух <tex>\$</tex> подряд, а в правой её не может бытьразрешима. Учитывая эти ограничения, перепишем получившееся равенство:|proof=<tex>\$ right(a_1Скомбинировав обе леммы, \$) right(a_{i_2-1}мы сведем универсальный язык к языку ПСП, \$) \ldots right(a_{i_{f-1}-1}, \$) \#</tex> <tex>=</tex> <tex>left(b_1, \$) left(b_{i_2-1}, \$) \ldots left(b_{i_{f-1}-1}, \$) \$ \#</tex>. Оставив из этих двух строк символы, стоящие на чётных позицияха так как универсальный язык неразрешим, то и удалив с конца <tex>\#</tex>, получим <tex>a_1 a_{i_2-1} \ldots a_{i_{f-1}-1} = b_1 b_{i_2-1} \ldots b_{i_{f-1}-1}</tex>ПСП — неразрешима.

По доказанному ранее, МПСП неразрешима== См. Тогда, вследствие теоремы для mтакже ==* [[Неразрешимость исчисления предикатов первого порядка]]* [[Примеры неразрешимых задач: задача о выводе в полусистеме Туэ|Задача о выводе в полусистеме Туэ]]* [[Примеры неразрешимых задач: задача о замощении|Задача о замощении]]* [[Примеры неразрешимых задач: однозначность грамматики|Однозначность грамматики]]* [[Неразрешимость задачи об эквивалентности КС-сведения, ПСП неразрешима.грамматик]]}}* [[Неразрешимость проблемы существования решения диофантова уравнения в целых числах]]

== Литература Источники информации ==