Изменения

[[Лекция 6 | <<]][[Лекция 8 Арифметические функции и отношения. Их выразимость в формальной арифметике | >>]] [[Категория: Математическая логика]] == Рекурсивные функции =====Строительные блоки рекурсивных функций===Рассмотрим примитивы, из которых будем собирать выражения:<ol><li> <tex>\mathrm{Z}</tex> {{---}} ноль. </li> <tex>\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{Z}(x) = 0</tex> <li> <tex>\mathrm{N}</tex> {{---}} инкремент. </li>  <tex>\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{N}(x) = x'</tex>, где <tex>x' = x + 1</tex>. <li> <tex>\mathrm{U^n_i}</tex> {{---}} проекция (<tex>i</tex>-ый аргумент среди <tex>n</tex>).</li> <tex>\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{U^n_i} (x_1, \ldots, x_n) = x_i</tex> <li> <tex>\mathrm{S}</tex>{{---}}подстановка.</li>  Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}\rangle: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>. При этом <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}\rangle (x_1, \ldots, x_m) = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1, \ldots, x_m), \ldots \mathrm{g_n}(x_1, \ldots, x_m))</tex> <li> <tex>\mathrm{R}</tex> {{---}} примитивная рекурсия.</li>  Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g}:\mathbb{N}^{n+2} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x_1, \ldots, x_n,y) = \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x_1, \ldots, x_n) & y = 0\\ \mathrm{g}(x_1, \ldots, x_n,y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x_1, \ldots, x_n,y-1)) & y > 0 \end{array}\right.</tex> <li> <tex>\mu</tex> {{---}} минимизация.</li>  Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle (x_1, \ldots, x_n)</tex> &mdash; такое минимальное число <tex>y</tex>, что <tex>\mathrm{f}(x_1, \ldots, x_n,y) = 0</tex>. Если такого <tex>y</tex> нет, результат данного примитива неопределен.</ol>{{Определение|definition=Если некоторая функция <tex>\mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> может быть задана с помощью данных примитивов(англ. ''primitive''), то она называется '''рекурсивной''' (англ. ''recursive''). }} ===Примитивно рекурсивные функции=== {{Определение|definition='''Примитивно рекурсивными''' (англ. ''Primitively recursive'') называют функции, которые можно получить с помощью правил <tex>1</tex>{{---}}<tex>5</tex>. }}Заметим, что если <tex> \mathrm{f} </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве <tex> \mathbb{N}^{n} </tex>, так как <tex> \mathrm{f} </tex> получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразования не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время. Если же говорить формально, то это свойство рекурсивных функций называется тотальностью.{{Определение|definition='''Тотальность''' (англ. ''Total Function'') {{---}} функция, определенная для всех возможных входных данных.}} Благодаря проекторам мы можем делать следующие преобразования:*В рекурсии не обязательно вести индукцию по последнему аргументу. Следует из того что мы можем с помощью проекторов поставить требуемый аргумент на последнее место.*В правиле подстановки можно использовать функции с разным числом аргументов. Например, подстановка <tex> \mathrm{F}(x,y) =\mathrm{f}(\mathrm{g}(y),\mathrm{h}(x,x,y)) </tex> эквивалентна <tex> \mathrm{F}(x,y,z) = \mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{U^2_2}(x,y)),\mathrm{h}(\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_2}(x,y))) </tex>, но если <tex> \mathrm{F} </tex> не константная функция то все подставляемые функции должны иметь хотя бы один аргумент. == Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях == ==== '''n'''-местный ноль ====<tex> \textbf 0 </tex> {{---}} функция нуля аргументов. <tex> \textbf 0^{1}(y) = \mathrm{Z}(y) </tex> <tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y) = \mathrm{Z}(y) </tex> Теперь вместо функции <tex>\mathrm{Z}(x)</tex> будем использовать константу <tex>\textbf 0</tex>, обозначив ее как <tex>\mathrm{Z}(x)</tex>. ====Константа <tex> \textbf M </tex>==== <tex> \textbf M(x) = \underbrace{\mathrm{N}(\ldots (\mathrm{N}}_{ \text{M раз} }(\mathrm{Z}(x))))</tex> <tex> \textbf M^n </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная константа, получается аналогичным к <tex> \textbf 0^n </tex> образом. ==== Сложение ====<tex> \mathrm{sum}(x, y) = \mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x,y)</tex>, где <tex> \mathrm{f}(x) = x </tex> <tex> \mathrm{g}(x, y, z) = \mathrm{N}(z) </tex>  <tex> \mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x,y) = \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x) & y = 0\\ \mathrm{g}(x, y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, y-1)) & y > 0\end{array}\right.</tex> <tex>=\left\{\begin{array} {ll} x & y = 0\\ \mathrm{N}(\mathrm{R} \langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, y-1)) & y > 0 \end{array}\right.</tex> <tex>=\left\{\begin{array} {ll} x & y = 0\\ \mathrm{N}(\mathrm{sum}(x, y-1)) & y > 0 \end{array}\right. </tex> Можно преобразовать в более простой вид. <tex> \mathrm{sum}(x,0) = x </tex> <tex> \mathrm{sum}(x,y) = \mathrm{N} (\mathrm{sum}(x,y-1)) </tex> ==== Умножения ====<tex> \mathrm{prod}(x,0) = \mathrm{Z}(x) </tex> <tex> \mathrm{prod}(x,y) = \mathrm{sum}(x,\mathrm{prod}(x,y-1)) </tex> ==== Вычитания ====Если <tex> x \leqslant y </tex>, то <tex> \mathrm{sub}(x,y) = 0 </tex> , иначе <tex> \mathrm{sub}(x,y) = x - y </tex>. Рассмотрим сначала вычитания единицы <tex> \mathrm{sub_{1}}(x) = x - 1 </tex>  <tex> \mathrm{sub_1}(0) = \mathrm{Z}(0) </tex> <tex> \mathrm{sub_1}(x+1) = x </tex> Теперь рассмотрим <tex> \mathrm{sub}(x,y) </tex> <tex> \mathrm{sub}(x,0) = x </tex> <tex> \mathrm{sub}(x,y) = \mathrm{sub_1}(\mathrm{sub}(x,y-1)) </tex> ==== Операции сравнения ====<tex> \mathrm{eq}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x = y </tex>, иначе <tex> \mathrm{eq}(x,y) = 0 </tex> <tex> \mathrm{le}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x \leqslant y </tex>, иначе <tex> \mathrm{lq}(x,y) = 0 </tex> <tex> \mathrm{lower}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x < y </tex>, иначе <tex> \mathrm{lower}(x,y) = 0 </tex> Сначала выразим <tex> \mathrm{eq_{0}}(x) = \mathrm{eq}(x,0) </tex> <tex> \mathrm{eq_0}(0) =\mathrm{N}(0) </tex> <tex> \mathrm{eq_0}(y) = \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) = \mathrm{Z}(x,y-1) </tex> Теперь все остальные функции <tex> \mathrm{le}(x,y) = \mathrm{eq_0}(\mathrm{sub}(x,y)) </tex> <tex> \mathrm{eq}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(y,x)) </tex> <tex> \mathrm{lower}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(\mathrm{N}(x),y)) </tex> ==== Условный оператор ====<tex> \mathrm{if}(0,x,y) = y </tex> <tex> \mathrm{if}(c,x,y) = x </tex> ==== Деление ====<tex> \mathrm{divide}(x,y) = \Bigl \lfloor \dfrac{x}{y} \Bigr \rfloor </tex>, если <tex> y > 0 </tex>. Если же <tex> y = 0 </tex>, то значение функции нас не интересует, и можно определить её как угодно. Сначала определим <tex> \mathrm{divmax}(x,y) </tex> {{---}} функция равна максимальному числу меньшему или равному <tex> x</tex>, которое нацело делится на <tex> y </tex>.  <tex> \mathrm{divmax}(0,y) =\mathrm{Z}(y) </tex> <tex>\mathrm{divmax}(x,y) =\mathrm{if}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{N}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y)),y),</tex><tex>\mathrm{N}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y))</tex> Теперь само деления  <tex> \mathrm{divide}(0,y) = \mathrm{Z}(y) </tex> <tex> \mathrm{divide}(x,y) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{divide}(x,y)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{sum}(z,\mathrm{eq}(\mathrm{N}(x),\mathrm{divmax}(\mathrm{N}(x),y))) </tex> Остаток от деления выражается так: <tex> \mathrm{mod}(x,y) = \mathrm{sub}(x,\mathrm{mul}(y,\mathrm{divide}(x,y))) </tex> ==== Работа со списками фиксированной длины ====С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск <tex> n </tex>-ого простого числа.Рассмотрим список из натуральны чисел <tex> [x_1,\ldots,x_n] </tex>, тогда ему в соответствия можно поставить число <tex> p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} </tex>, где <tex>p_i</tex> {{---}} <tex>i</tex>-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие <tex> i </tex> - тогоэлемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел. ==Теоремы=====Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций ==={{Теорема|statement= Если для [[Вычислимые функции|вычислимой функции]] <tex> \mathrm{F} </tex> существует примитивно рекурсивная функция <tex> \mathrm{T} </tex>, такая что для любых аргументов <tex> args </tex> максимальное количество шагов, за которое будет посчитана <tex> \mathrm{F}(x) </tex> на [[Машина Тьюринга|МТ]] равно <tex> \mathrm{T}(args) </tex>, то <tex> \mathrm{F} </tex> примитивно рекурсивная функция. |proof=Каждому состоянию [[Машина Тьюринга|МТ]] поставим в соответствие список из четырех чисел <tex> [L,R,S,C] </tex>, где: *<tex> L </tex> {{---}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] слева от головки ленты, представлено в виде числа в системы счисления с основанием равным алфавиту [[Машина Тьюринга|МТ]]. Младшие разряды находятся возле головки. Пробелу соответствует ноль, чтобы число было конечным. *<tex> R </tex> {{---}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] справа от головки, представлено аналогично <tex> L </tex> только возле головки [[Машина Тьюринга|МТ]] находятся старшие разряды.  *<tex> S </tex> {{---}} номер текущего состояния. *<tex> C </tex> {{---}} символ на который указывает головка ленты. Тогда всем переходам соответствует функция <tex> \mathrm{f}([L,R,S,C]) </tex> принимающая состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] и возвращающая новое состояние.Покажем что она примитивно рекурсивная . При применении перехода в <tex> C </tex> записывается новый символ,затем из-за сдвига головки в <tex> L </tex> и <tex> R </tex> в конец добавляется новая цифра или удаляется старая, затем в <tex> C </tex> записываетcя символ после сдвига, и в конце перехода в <tex> S </tex> записывается новое состояние автомата. Операции добавления в конец цифры или удаления последней цифры легко выражаются через простые арифметические операции, следовательно они примитивно рекурсивные. Все остальные операции являются простыми операциями над списками, а значит они тоже примитивно рекурсивные. Из этого следует что применения перехода {{---}} примитивно рекурсивная функция. В силу того что нужный переход можно выбрать используя конечное число функций <tex> \mathrm{if} </tex> следует что и <tex> \mathrm{f} </tex> также является примитивно рекурсивной функцией. Функции преобразование аргументов в формат входных данных для [[Машина Тьюринга|МТ]] и получения ответа по состоянию [[Машина Тьюринга|МТ]] также выражаются через простые арифметические операции а значит они примитивно рекурсивные. Назовем их <tex>\mathrm{IN} </tex> и <tex> \mathrm{OUT} </tex>. Рассмотрим функцию двух аргументов <tex> \mathrm{N}([L,R,S,C],t) </tex> которая принимает состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] , число шагов <tex> t </tex> и возвращает состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] после <tex> t </tex> шагов.Покажем что <tex>\mathrm{N}</tex> {{---}} примитивно рекурсивная функция. <tex> \mathrm{N}([L,R,S,C],t) = [L,R,S,C] </tex> <tex> \mathrm{N}([L,R,S,C],t+1) = \mathrm{h}([L,R,S,C],t+1,\mathrm{N}([L,R,S,C],t)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}([L,R,S,X],y,[L1,R1,S1,C1]) = \mathrm{f}([L1,R1,S1,C1]) </tex> Вместо <tex> t </tex> подставим <tex> \mathrm{T}(args) </tex> и в итоге получим что <tex> \mathrm{F}(args) = \mathrm{OUT}(\mathrm{N}(\mathrm{IN}(args),\mathrm{T}(args))) </tex> {{---}} примитивно рекурсивная функция. }} ==См. также ==* [[Лямбда-исчисление]]* [[Частично рекурсивные функции]] ==Источники информации ==* Н. К. Верещагин, А. Шень. [http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-2.pdf Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. 4-е изд., испр., М.: МЦНМО, 2012]*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8) Википедия {{---}} Рекурсивная функция]*[https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_recursive_function Wikipedia {{---}} Primitive recursive function] [[Категория: Теория формальных языков]][[Категория: Теория вычислимости]][[Категория: Вычислительные формализмы]]