Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Примитивно рекурсивные функции

2605 байт добавлено, 00:26, 20 марта 2019
Работа со списками фиксированной длины
[[Лекция 6 | <<]][[Лекция 8 Арифметические функции и отношения. Их выразимость в формальной арифметике | >>]]
[[Категория: Математическая логика]]
== Рекурсивные функции=====Строительные блоки рекурсивных функций===Рассмотрим примитивы, из которых будем собирать выражения:<ol><li> <tex>\mathrm{Z}</tex> {{---}} ноль. =</li>
Рассмотрим примитивы<tex>\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, из которых будем собирать выражения:<tex>\mathrm{Z}(x) = 0</tex> <li> <tex>\mathrm{N}</tex> {{---}} инкремент. </li>
# <tex>Z: N \rightarrow N</tex>, <tex>Z(x) = 0</tex># <tex>N: N \rightarrow N</tex>, <tex>N(x) = x'</tex># Проекция. <tex>U^n_i: mathbb{N^n \rightarrow N</tex>, <tex>U^n_i (x_1, ... x_n) = x_i</tex># Подстановка. Если <tex>f: N^n \rightarrow N</tex> и <tex>g_1, ... g_n: N^m \rightarrow N</tex>, то <tex>S\langle{}f,g_1,...g_n\rangle: N^m \rightarrow N</tex>. При этом <tex>S\langlemathbb{}f,g_1,...g_n\rangle (x_1,...x_m) = f(g_1(x_1,...x_m), ... g_n(x_1,...x_m))</tex># Примитивная рекурсия. Если <tex>f: N^n \rightarrow N</tex> и <tex>g: N^{n+2} \rightarrow N</tex>, то <tex>R\langle{}f,g\rangle: N^mathrm{n+1} \rightarrow N</tex>, при этом <tex>R\langle{}f,g\rangle (x_1,...x_n,yx) = \left\{\begin{array}{ll} f(x_1,...x_n) & , y = 0\\ g(x_1,...x_n,y-1,R\langle{}f,g\rangle(x_1,...x_n,y-1)) &, y > 0 \end{array}\right.x'</tex># Минимизация. Если , где <tex>f: N^{nx' = x +1} \rightarrow N</tex>, то <tex>\mu \langle{}f\rangle: N^n \rightarrow N</tex>, при этом <tex>\mu \langle{}f\rangle (x_1,...x_n)</tex> &mdash; такое минимальное число <tex>y</tex>, что <tex>f(x_1,...x_n,y) = 0</tex>. Если такого <tex>y</tex> нет, результат данного примитива неопределен.
Если некоторая функция <li> <tex>N\mathrm{U^n_i}</tex> {{---}} проекция (<tex>i</tex>-ый аргумент среди <tex>n \rightarrow N</tex> может быть задана с помощью данных примитивов, то она называется рекурсивной. Если некоторую функцию можно собрать исключительно из первых 5 примитивов (то есть без использования операции минимизации), то такая функция называется примитивно-рекурсивной.</li>
<tex>\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{U^n_i} (x_1, \ldots, x_n) = x_i</tex>
<li> <tex>\mathrm{S}</tex>{{---}}подстановка.</li>
Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{Теорема|statement=Следующие функции являются примитивно-рекурсивнымиg_1}, \ldots, \mathrm{g_n}\rangle:сложение\mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>. При этом <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f}, умножение\mathrm{g_1}, ограниченное вычитание \ldots, \mathrm{g_n}\rangle (которое равно 0x_1, \ldots, если результат вычитания отрицателенx_m)= \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1, \ldots,целочисленное делениеx_m), остаток от деления.|proof=Упражнение}\ldots \mathrm{g_n}(x_1, \ldots, x_m))</tex>
= Арифметические функции и отношения<li> <tex>\mathrm{R}</tex> {{---}} примитивная рекурсия. Их выразимость в формальной арифметике. =</li>
Введем обозначение. Будем говорить, что Если <tex>\alpha (x_1, mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \dots x_n)mathbb{N}</tex> &mdash; это формула с и <tex>\mathrm{g}:\mathbb{N}^{n+2} \rightarrow \mathbb{N}</tex> свободными переменными, если переменные то <tex>x_1\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f}, ... x_n\mathrm{g}\rangle: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex> входят в , при этом <tex>\alpha</tex> свободно. Запись <tex>mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\alpha rangle (y_1x_1, \dots y_nldots, x_n,y)</tex> будем трактовать= \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x_1, \ldots, как <tex>x_n) & y = 0\\ \alpha [mathrm{g}(x_1 := y_1, ... \ldots, x_n := y_n]</tex>, при этом мы подразумеваемy-1, что <tex>y_1\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f}, \dots y_n</tex> свободны для подстановки вместо <tex>mathrm{g}\rangle(x_1, \dots ldots, x_n</tex> в <tex,y-1)) & y >0 \end{array}\alpharight.</tex>.
Также, запись <li> <tex>B(x_1, \dots x_n) := \alpha(x_1, \dots x_n)mu</tex> будет означать, что мы определяем новую формулу с именем <tex>B{{---}} минимизация.</texli>. Данная формула должна восприниматься только как сокращение записи, макроподстановка.
Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle (x_1, \ldots, x_n)</tex> &mdash; такое минимальное число <tex>y</tex>, что <tex>\mathrm{f}(x_1, \ldots, x_n,y) = 0</tex>. Если такого <tex>y</tex> нет, результат данного примитива неопределен.</ol>{{Определение
|definition=
Арифметическая функция --- Если некоторая функция <tex>f: \mathbb{N}^{n } \rightarrow \mathbb{N}</tex>может быть задана с помощью данных примитивов(англ.Арифметическое отношение --- <tex>n</tex>-арное отношение''primitive''), заданное на <tex>N</tex>то она называется '''рекурсивной''' (англ. ''recursive'').
}}
===Примитивно рекурсивные функции=== {{Определение
|definition=
Арифметическое отношение <tex>R</tex> называется выразимым '''Примитивно рекурсивными''' (в формальной арифметикеангл. ''Primitively recursive'')называют функции, если существует такая формула <tex>\alpha (x_1, \dots x_n)</tex> которые можно получить с помощью правил <tex>n1</tex> свободными переменными, что для любых натуральных чисел {{---}}<tex>k_15</tex> ... <tex>k_n</tex>
# если <tex>R(k_1, \dots k_n)</tex> истинно, то доказуемо <tex>\alpha (\overline{k_1}, \dots \overline{k_n})</tex>
# если <tex>R(k_1, \dots k_n)</tex> ложно, то доказуемо <tex>\neg \alpha (\overline{k_1}, \dots \overline{k_n})</tex>.
}}
Заметим, что если <tex> \mathrm{f} </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве <tex> \mathbb{N}^{n} </tex>, так как <tex> \mathrm{f} </tex> получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразования не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время. Если же говорить формально, то это свойство рекурсивных функций называется тотальностью.
{{Определение
|definition=
'''Тотальность''' (англ. ''Total Function'') {{---}} функция, определенная для всех возможных входных данных.
}}
 
Благодаря проекторам мы можем делать следующие преобразования:
*В рекурсии не обязательно вести индукцию по последнему аргументу. Следует из того что мы можем с помощью проекторов поставить требуемый аргумент на последнее место.
*В правиле подстановки можно использовать функции с разным числом аргументов. Например, подстановка <tex> \mathrm{F}(x,y) =\mathrm{f}(\mathrm{g}(y),\mathrm{h}(x,x,y)) </tex> эквивалентна <tex> \mathrm{F}(x,y,z) = \mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{U^2_2}(x,y)),\mathrm{h}(\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_2}(x,y))) </tex>, но если <tex> \mathrm{F} </tex> не константная функция то все подставляемые функции должны иметь хотя бы один аргумент.
 
== Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях ==
 
==== '''n'''-местный ноль ====
<tex> \textbf 0 </tex> {{---}} функция нуля аргументов.
 
<tex> \textbf 0^{1}(y) = \mathrm{Z}(y) </tex>
 
<tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y) = \mathrm{Z}(y) </tex>
Например, отношение Теперь вместо функции <tex>\mathrm{Z}(<x)</tex> является выразимым в арифметике: Рассмотрим формулу будем использовать константу <tex>\alpha (a_1, a_2) = \exists b (\neg b = textbf 0 \& a_1 + b = a_2)</tex>. В самом деле, если взять некоторые числа <tex>k_1</tex> и <tex>k_2</tex>, такие, что <tex>k_1 < k_2</tex>, то найдется такое положительное число <tex>b</tex>, что <tex>k_1 + b = k_2</tex>. Можно показать, что если подставить обозначив ее как <tex>\overlinemathrm{k_1Z}(x)</tex> и <tex>\overline{k_2}</tex> в <tex>\alpha</tex>, то формула будет доказуема.
Наметим доказательство: Тут должно быть два доказательства по индукции, сперва по ====Константа <tex>k_2</tex>, потом по <tex>k_1\textbf M </tex>. Рассмотрим доказательство по индукции: пусть <tex>k_1 = 0</tex>, индукция по 2-му параметру: Разберем доказательство базы при <tex>k_2 = 1</tex>. Тогда надо показать <tex>\exists b (\neg b = 0 \& 0 + b = 1)</tex>:
<table><tr class="odd"><td align="left">(1)</td><td align="left"><tex>\neg 1 = 0 \& 0 + 1 = 1</tex></td><td align="left">Несложно показать</td></tr><tr class="even"><td align="left">textbf M(2x)</td><td align="left"><tex>(\neg 1 = 0 underbrace{\& 0 + 1 = 1) mathrm{N}(\rightarrow \exists b ldots (\neg b = 0 mathrm{N}}_{ \& 0 + b = 1)</tex></td><td align="left">Cх. акс. для <tex>text{M раз} }(\exists</tex></td></tr><tr class="odd"><td align="left">mathrm{Z}(3x)))</td><td align="left"><tex>\exists b (\neg b = 0 \& 0 + b = 1)</tex></td><td align="left">M.P. 1 и 2.</td></tr></table>
<tex> \textbf M^n </tex> {{Определение ---}} <tex>n</tex>-местная константа, получается аналогичным к <tex> \textbf 0^n </tex> образом. |definition==== Сложение ====Введем следующее сокращение записи: пусть <tex>\exists ! mathrm{sum}(x, y ) = \phi mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x,y)</tex> означает , где <tex> \mathrm{f}(x) = x </tex> <tex>\exists mathrm{g}(x, y , z) = \mathrm{N}(z) </tex>  <tex> \mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\phi rangle (x,y) = \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x) & y = 0\\forall a \forall b mathrm{g}(x, y-1,\phimathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(ax, y-1) ) & y > 0\end{array}\right.</tex> <tex>=\left\{\begin{array} {ll} x & y = 0\\ \phimathrm{N}(b\mathrm{R} \langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, y-1) ) & y > 0 \end{array}\rightarrow aright.</tex> <tex>=b\left\{\begin{array} {ll} x & y = 0\\ \mathrm{N}(\mathrm{sum}(x, y-1))& y > 0 \end{array}\right. </tex> Здесь  Можно преобразовать в более простой вид. <tex>a\mathrm{sum}(x,0) = x </tex> и  <tex>b\mathrm{sum}(x,y) = \mathrm{N} (\mathrm{sum}(x,y-1)) </tex> ==== Умножения ====<tex> \mathrm{prod}(x,0) = \mathrm{Z}(x) </tex> <tex> \mathrm{prod}(x,y) = \mathrm{sum}(x,\mathrm{prod}(x,y-1)) </tex> ==== Вычитания ====Если <tex> x \leqslant y </tex>, то <tex> \mathrm{sub}(x,y) = 0 </tex> &mdash; некоторые переменные, не входящие в формулу иначе <tex>\phimathrm{sub}(x,y) = x - y </tex> свободноРассмотрим сначала вычитания единицы <tex> \mathrm{sub_{1}}(x) = x - 1 </tex>  <tex> \mathrm{sub_1}(0) = \mathrm{Z}(0) </tex> <tex> \mathrm{sub_1}(x+1) = x </tex> Теперь рассмотрим <tex> \mathrm{sub}(x,y) </tex> <tex> \mathrm{sub}(x,0) = x </tex> <tex> \mathrm{sub}(x,y) = \mathrm{sub_1}(\mathrm{sub}(x,y-1)) </tex> ==== Операции сравнения ====<tex> \mathrm{eq}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x = y </tex>, иначе <tex> \mathrm{eq}(x,y) = 0 </tex> <tex> \mathrm{le}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x \leqslant y </tex>, иначе <tex> \mathrm{lq}(x,y) = 0 </tex> <tex> \mathrm{lower}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x < y </tex>, иначе <tex> \mathrm{lower}(x,y) = 0 </tex> Сначала выразим <tex> \mathrm{eq_{0}}(x) = \mathrm{eq}(x,0) </tex> <tex> \mathrm{eq_0}(0) =\mathrm{N}(0) </tex> <tex> \mathrm{eq_0}(y) = \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) = \mathrm{Z}(x,y-1) </tex> Теперь все остальные функции
{{Определение |definition=Арифметическая функция <tex>f</tex> от <tex>n</tex> аргументов называется представимой в формальной арифметике\mathrm{le}(x, если существует такая формула <tex>y) = \alpha mathrm{eq_0}(x_1, \dots x_mathrm{n+1sub}(x,y))</tex> с <tex>n+1</tex> свободными пременными, что для любых натуральных чисел <tex>k_1</tex> ... <tex>k_n</tex>
# <tex>f\mathrm{eq}(k_1x, \dots k_ny) = k_\mathrm{n+1mul}</tex> тогда и только тогда, когда доказуемо <tex>\alpha (\overlinemathrm{k_1le}(x, \dots \overline{k_{n+1}}y)</tex>.# Доказуемо <tex>\exists ! b (\alpha (\overline{k_1}, \dots \overlinemathrm{k_nle}(y, bx))</tex>
Комментарии:Функция называется сильно представимой, если в свойстве 2 натуральные числа заменить на переменные: <tex>\exists ! b mathrm{lower}(x,y) = \mathrm{mul}(\alpha mathrm{le}(a_1x,y), \dots a_nmathrm{le}(\mathrm{N}(x), by))</tex>}}
Комментарии:==== Условный оператор ====<tex> \mathrm{if}(0,x,y) = y </tex>
Очевидно<tex> \mathrm{if}(c, что сильно представимая функция также является представимой --- с помощью уже встречавшегося ранее трюка с введением квантора всеобщностиx, а потом с подстановкой конкретного терма вместо переменной мы можем подставить любые константы вместо переменных.y) = x </tex>
{{Теорема|statement==== Деление ==== Функции <tex>Z\mathrm{divide}(x,y) = \Bigl \lfloor \dfrac{x}{y} \Bigr \rfloor </tex>, если <tex>Ny > 0 </tex>, . Если же <tex>U^n_iy = 0 </tex> являются представимыми.|proof=Наметим доказательство. Для этого приведем формулы, доказательство корректности этих формул оставим в виде упражнениято значение функции нас не интересует, и можно определить её как угодно.
* Примитив Сначала определим <tex>Z</tex> представит формула <tex>Z \mathrm{divmax}(ax, b) := (a=a \& b=0y)</tex>.* Примитив {{---}} функция равна максимальному числу меньшему или равному <tex>Nx</tex> представит формула <tex>N (a, b) := (a' = b)которое нацело делится на </tex>.* Примитив <tex>U^n_iy </tex> представит формула <tex>U^n_i (a_1, ...a_n, b) = (a_1=a_1) \& ... \& (a_n=a_n) \& (b= a_i)</tex>.}}
{{Теорема|statement=Если функции <tex>f</tex> и <tex>g_1</tex>, ... <tex>g_m</tex> представимы, то функция <tex>S\langlemathrm{divmax}f(0,g_1,\dots g_m\rangle</tex> также представима.|proofy) =Поскольку функции <tex>f</tex> и <tex>g_i</tex> представимы, то есть формулы <tex>F</tex> и <tex>G_1, \dots G_m</tex>, их представляющие. Тогда следующая формула представит <tex>S\langlemathrm{Z}f,g_1,\dots g_m\rangle</tex>: <tex>S (a_1, \dots a_n, b) := \exists b_1 \dots \exists b_m (G_1 (a_1, \dots a_n, b_1) \& \dots \& G_m (a_1, \dots a_n, b_m) \& F (b_1, \dots b_m, b)y)</tex>}}
{{Определение |definition=Характеристическая функция арифметического отношения <tex>R</tex> &mdash; это функция <tex>C_R \mathrm{divmax}(x_1x, ... x_ny) = \leftmathrm{if}(\mathrm{eq}(\beginmathrm{arraysub}(\mathrm{llN}0 &R (x_1x-1),...x_n)\\mathrm{divmax}(x-1 & R (x_1,...x_ny)),y) ,</tex><tex>\textrmmathrm{ неверноN}(x-1),\endmathrm{arraydivmax}\right.(x-1,y))</tex>}}
Очевидно, что характеристическая функция представима тогда и только тогда, когда отношение выразимо.Теперь само деления
{{Определение |definition=<tex>\beta</tex>-функция Геделя - это функция <tex>\beta mathrm{divide}(b0,c,iy) = b \% mathrm{Z}(1 + c \cdot (i + 1)y)</tex>. Здесь операция (%) означает взятие остатка от целочисленного деления.}}
<tex> \mathrm{divide}(x,y) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{Лемма|statement= Функция примитивно-рекурсивнаdivide}(x,y)) </tex>, и при этом представима в арифметике формулой где <tex>B \mathrm{h}(bx,cy,i,dz) := \exists q mathrm{sum}((b = q z,\cdot mathrm{eq}(1 + c \cdot mathrm{N}(i+1)) + dx) ,\& mathrm{divmax}(d < 1 + c \cdot mathrm{N}(i+1x),y)))</tex>|proof=Упражнение.}}
{{Лемма|statement= Для любой конечной последовательности чисел <tex>k_0</tex> ... <tex>k_n</tex> можно подобрать такие константы <tex>b</tex> и <tex>c</tex>, что <tex>\beta (b,c,i) = k_i</tex> для <tex>0 \le i \le n</tex>.|proof=Возьмем число <tex>c = max(k_1,\dots k_n,n)!</tex>. Рассмотрим числа <tex>u_i = 1 + c \cdot (i+1)</tex>.Остаток от деления выражается так:
* Никакие числа <tex>u_i</tex> и <tex>u_j</tex> <tex>(0 \le j < i \le n)</tex> не имеют общих делителей кроме 1. Пусть это не так, и есть некоторый общий делитель <tex>p</tex> mathrm{mod}(очевидно, мы можем предположить его простоту &mdash; разложив на множителиx, если он составнойy). Тогда <tex>p</tex> будет делить <tex>u_i - u_j = c \cdot mathrm{sub}(i - j)</tex>x, при этом <tex>p</tex> не может делить <tex>c</tex> &mdash; иначе окажется\mathrm{mul}(y, что <tex>u_i = (1 + c \cdot mathrm{divide}(i+1x,y))</tex> делится на <tex>p</tex> и <tex>c \cdot (i+1)</tex> делится на <tex>p</tex>. Значит, <tex>p</tex> делит <tex>i-j</tex>, то есть все равно делит <tex>c</tex>, так как <tex>c</tex> &mdash; факториал некоторого числа, не меньшего <tex>n</tex>, и при этом <tex>i-j \le n</tex>.* Каждое из чисел <tex>k_i</tex> меньше, чем <tex>u_i</tex>: в самом деле, <tex>k_i \le c < 1 + c \cdot (i+1) = u_i</tex>.* Согласно китайской теореме об остатках, если некоторые натуральные числа <tex>k_0, \dots k_n</tex> попарно взаимно просты, то для любых целых чисел <tex>u_0, \dots u_n</tex>, таких, что <tex>0 \le k_i < u_i</tex>, найдется такое целое число <tex>b</tex>, для которого выполнено <tex>k_i = b \% u_i</tex>. Возьмем <tex>b</tex>, подсказываемое теоремой об остатках.}}
==== Работа со списками фиксированной длины ====
С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск <tex> n </tex>-ого простого числа.
Рассмотрим список из натуральны чисел <tex> [x_1,\ldots,x_n] </tex>, тогда ему в соответствия можно поставить число <tex> p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} </tex>, где <tex>p_i</tex> {{---}} <tex>i</tex>-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие <tex> i </tex> - того
элемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел.
==Теоремы==
===Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций ===
{{Теорема
|statement= Всякая Если для [[Вычислимые функции|вычислимой функции]] <tex> \mathrm{F} </tex> существует примитивно рекурсивная функция <tex> \mathrm{T} </tex>, такая что для любых аргументов <tex> args </tex> максимальное количество шагов, за которое будет посчитана <tex> \mathrm{F}(x) </tex> на [[Машина Тьюринга|МТ]] равно <tex> \mathrm{T}(args) </tex>, то <tex> \mathrm{F} </tex> примитивно рекурсивная функция представима в арифметике.
|proof=
Представимость первых Каждому состоянию [[Машина Тьюринга|МТ]] поставим в соответствие список из четырех примитивов уже показаначисел <tex> [L,R,S,C] </tex>, где: *<tex> L </tex> {{---}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] слева от головки ленты, представлено в виде числа в системы счисления с основанием равным алфавиту [[Машина Тьюринга|МТ]]. Покажем представимость примитивной рекурсии и операции минимизацииМладшие разряды находятся возле головки.Пробелу соответствует ноль, чтобы число было конечным. *<tex> R </tex> {{---}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] справа от головки, представлено аналогично <tex> L </tex> только возле головки [[Машина Тьюринга|МТ]] находятся старшие разряды.
Пусть есть некоторый *<tex>R \langle{} f,g \rangle</tex>. Соответственно, <tex>f</tex> и <tex>g</tex> уже представлены как некоторые формулы <tex>F</tex> и <tex>G</tex>. Из определения <tex>R\langle{}f,g\rangleS </tex> мы знаем, что для значения <tex>R \langle{} f,g \rangle (x_1,...x_{n+1---})</tex> должна существовать последовательность <tex>a_0 ... a_{x_{n+1}}</tex> результатов применения функций f и g &mdash; значений на одно больше, чем итераций в цикле примитивной рекурсии, а это количество определяется последним параметром функции <tex>R \langle{}f,g\rangle</tex>номер текущего состояния. При этом:
Значит, по лемме, должны существовать такие числа *<tex>bC </tex> и <tex>c</tex>, что <tex>\beta (b,c,i) = a_i</tex> для <tex>0 \le i \le x_{n+1{---}</tex>} символ на который указывает головка ленты.
Приведенные рассуждения позволяют построить следующую формулу, представляющую Тогда всем переходам соответствует функция <tex>R\langlemathrm{f}f([L,R,S,C]) </tex> принимающая состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] и возвращающая новое состояние.Покажем что она примитивно рекурсивная . При применении перехода в <tex> C </tex> записывается новый символ,затем из-за сдвига головки в <tex> L </tex> и <tex> R </tex> в конец добавляется новая цифра или удаляется старая, затем в <tex> C </tex> записываетcя символ после сдвига,g\rangle (x_1и в конце перехода в <tex> S </tex> записывается новое состояние автомата. Операции добавления в конец цифры или удаления последней цифры легко выражаются через простые арифметические операции, следовательно они примитивно рекурсивные.Все остальные операции являются простыми операциями над списками, а значит они тоже примитивно рекурсивные.Из этого следует что применения перехода {{---}} примитивно рекурсивная функция. x_В силу того что нужный переход можно выбрать используя конечное число функций <tex> \mathrm{n+1if} </tex> следует что и <tex> \mathrm{f})</tex>:также является примитивно рекурсивной функцией.
Функции преобразование аргументов в формат входных данных для [[Машина Тьюринга|МТ]] и получения ответа по состоянию [[Машина Тьюринга|МТ]] также выражаются через простые арифметические операции а значит они примитивно рекурсивные. Назовем их <tex>\mathrm{IN} </tex> и <tex> \mathrm{OUT} </tex>.
Рассмотрим функцию двух аргументов <tex> R(x_1, \dots x_mathrm{n+1N}([L, a) := \exists b \exists c (\exists k (B (bR, cS, 0C], kt) \& F (x_1</tex> которая принимает состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] ,число шагов <tex> t </tex> и возвращает состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] после <tex> t </tex> шагов...x_n, k)) \& B(b, c, x_{n+1}, a) Покажем что <tex>\& \forall k (k < x_mathrm{n+1N} \rightarrow \exists d \exists e (B (b, c, k, d) \& B (b, c, k', e) \& G (x_1,..x_n, k, d, e)))</tex>{{---}} примитивно рекурсивная функция.
<tex> \mathrm{N}([L,R,S,C],t) = [L,R,S,C] </tex>
Рассмотрим конструкцию <tex>\mu\langlemathrm{N}f\rangle</tex>. <tex>f</tex> уже представлено как некоторая формула <tex>F</tex>. Тогда формула <tex>M (x_1[L,R, \dots x_nS,C],yt+1) := F\mathrm{h}(x_1[L,R,S, \dots x_nC],yt+1,0) \& \forall z mathrm{N}(z < y \rightarrow \neg F (x_1[L,R, \dots x_nS,zC],0t))</tex> представит , где <tex>\mumathrm{h}([L,R,S,X],y,[L1,R1,S1,C1]) = \langlemathrm{f}f\rangle([L1,R1,S1,C1]) </tex>.
Вместо <tex> t </tex> подставим <tex> \mathrm{T}(args) </tex> и в итоге получим что <tex> \mathrm{F}(args) = \mathrm{OUT}(\mathrm{N}(\mathrm{IN}(args),\mathrm{T}(args))) </tex> {{---}} примитивно рекурсивная функция.
}}
 
==См. также ==
* [[Лямбда-исчисление]]
* [[Частично рекурсивные функции]]
 
==Источники информации ==
* Н. К. Верещагин, А. Шень. [http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-2.pdf Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. 4-е изд., испр., М.: МЦНМО, 2012]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8) Википедия {{---}} Рекурсивная функция]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_recursive_function Wikipedia {{---}} Primitive recursive function]
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Вычислительные формализмы]]
Анонимный участник

Навигация