Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Примитивно рекурсивные функции

489 байт добавлено, 00:26, 20 марта 2019
Работа со списками фиксированной длины
== Рекурсивные функции ==
===Строительные блоки рекурсивных функций===
Рассмотрим примитивы, из которых будем собирать выражения:
<ol>
<li> <tex>\mathrm{Z}</tex> {{---}} ноль. </li>
 
<tex>\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{Z}(x) = 0</tex>
 
<li> <tex>\mathrm{N}</tex> {{---}} инкремент. </li>
 
<tex>\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{N}(x) = x'</tex>, где <tex>x' = x + 1</tex>.
 
<li> <tex>\mathrm{U^n_i}</tex> {{---}} проекция (<tex>i</tex>-ый аргумент среди <tex>n</tex>).</li>
 
<tex>\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{U^n_i} (x_1, \ldots, x_n) = x_i</tex>
<li> <tex>\mathrm{S}</tex>{{---}}подстановка.</li>
 
Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}\rangle: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>. При этом <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}\rangle (x_1, \ldots, x_m) = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1, \ldots, x_m), \ldots \mathrm{g_n}(x_1, \ldots, x_m))</tex>
Рассмотрим примитивы, из которых будем собирать выражения:<li> <tex>\mathrm{R}</tex> {{---}} примитивная рекурсия.</li>
# <tex>\mathrm{Z}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{Z}(x) = 0</tex># <tex>\mathrm{N}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{N}(x) = x'</tex># Проекция. <tex>\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{U^n_i} (x_1, ... x_n) = x_i</tex># Подстановка. Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g_1}, ... \mathrm{g_n}: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\mathrm{g_n}\rangle: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>. При этом <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\mathrm{g_n}\rangle (x_1,...x_m) = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1,...x_m), ... \mathrm{g_n}(x_1,...x_m))</tex># Примитивная рекурсия. Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g}:\mathbb{N}^{n+2} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle: \mathrmmathbb{N}^{n+1}} \rightarrow \mathrmmathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x_1,...\ldots, x_n,y) = \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x_1,...\ldots, x_n) & , y = 0\\ \mathrm{g}(x_1,...\ldots, x_n,y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x_1,...\ldots, x_n,y-1)) &, y > 0
\end{array}\right.</tex>
# Минимизация. Если <tex>\mathrm{f}: \mathrm{N^{n+1}} \rightarrow \mathrm{N}</tex>, то <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle: \mathrm{N^n} \rightarrow \mathrm{N}</tex>, при этом <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle (x_1,...x_n)</tex> &mdash; такое минимальное число <tex>y</tex>, что <tex>\mathrm{f}(x_1,...x_n,y) = 0</tex>. Если такого <tex>y</tex> нет, результат данного примитива неопределен.
<li> <tex>\mu</tex> {{---}} минимизация.</li>  Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle (x_1, \ldots, x_n)</tex> &mdash; такое минимальное число <tex>y</tex>, что <tex>\mathrm{f}(x_1, \ldots, x_n,y) = 0</tex>. Если такого <tex>y</tex> нет, результат данного примитива неопределен.</ol>{{Определение|definition=Если некоторая функция <tex>\mathrmmathbb{N}^{n} \rightarrow \mathrmmathbb{N}</tex> может быть задана с помощью данных примитивов(англ. ''primitive''), то она называется '''рекурсивной''' (англ. Если некоторую функцию можно собрать исключительно из первых 5 примитивов (то есть без использования операции минимизации''recursive''), то такая функция называется примитивно-рекурсивной.}}
===Примитивно рекурсивные функции===
{{Определение
|definition=
'''Примитивно рекурсивными''' (англ. ''Primitively recursive'') называют функции, которые можно получить с помощью правил подстановки и рекурсии из константной функции <tex> \textbf 0 </tex>, функции <tex> \mathrm{I}(x) = x + 1, </tex> и набора функций <tex> \mathrm{P_{n,k---}}(x_1,\ldots,x_n) = x_k,</tex> где <tex> k \le n 5</tex>.
}}
Заметим, что если <tex> \mathrm{f} </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве <tex> \mathbb{N}^{n} </tex>, так как <tex> \mathrm{f} </tex> получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразования не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время. Если же говорить формально, то это свойство рекурсивных функций называется тотальностью.{{Определение|definition='''Тотальность''' (англ. ''Total Function'') {{---}} функция, определенная для всех возможных входных данных.}}
Благодаря проекторам мы можем делать следующие преобразования:
*В правиле подстановки можно использовать функции с разным числом аргументов. Например, подстановка <tex> \mathrm{F}(x,y) =\mathrm{f}(\mathrm{g}(y),\mathrm{h}(x,x,y)) </tex> эквивалентна <tex> \mathrm{F}(x,y,z) = \mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{P_{2,2}}(x,y)),\mathrm{h}(\mathrm{P_{2,1}}(x,y),\mathrm{P_{2,1}}(x,y),\mathrm{P_{2,2}}(x,y))) </tex>, но если <tex> \mathrm{F} </tex> не константная функция то все подставляемые функции должны иметь хотя бы один аргумент.
*В рекурсии не обязательно вести индукцию по последнему аргументу. Следует из того что мы можем с помощью проекторов поставить требуемый аргумент на последнее место.
*В дальнейшем вместо правиле подстановки можно использовать функции с разным числом аргументов. Например, подстановка <tex> \mathrm{P_F}(x,y) =\mathrm{n,kf}(\mathrm{g}(x_1y),\ldotsmathrm{h}(x,x_kx,y)) </tex> будем писать просто эквивалентна <tex> x_k \mathrm{F}(x,y,z) = \mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{U^2_2}(x,y)),\mathrm{h}(\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_2}(x,y))) </tex>, подразумевая требуемое нам но если <tex> n \mathrm{F} </tex>не константная функция то все подставляемые функции должны иметь хотя бы один аргумент.
==== Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях ====
===== ''' n '''-местный ноль =====<tex> \textbf 0 </tex> {{--- }} функция нуля аргументов.
Выразим сначала <tex> \textbf 0^{1 }(y) = \mathrm{Z}(y) </tex>
<tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1}(0,y) = \textbf 0 mathrm{Z}(y) </tex>
Теперь вместо функции <tex> \textbf 0^mathrm{1Z}(y+1x) = \mathrm{h}(y,</tex> будем использовать константу <tex>\textbf 0^{1}(y)) </tex>, где обозначив ее как <tex> \mathrm{hZ}(x,y) = y </tex>.
Теперь выразим ====Константа <tex> \textbf 0^n M </tex>====
<tex> \textbf 0^M(x) = \underbrace{n\mathrm{N}(x_1,\ldots,x_(\mathrm{N}}_{ \text{n-1M раз} },0) = (\textbf 0^mathrm{n-1Z} (x))))</tex>
<tex> \textbf 0M^n </tex> {n}(x_1,\ldots,x_{n-1--},y+1) = \mathrm{h}(x_1,\ldots,x_{<tex>n-1},\textbf 0^{n}(y)) </tex>-местная константа, где получается аналогичным к <tex> \mathrm{h}(x_1,\ldots, x_n,y) = y textbf 0^n </tex> образом.
Константа ==== Сложение ====<tex> \textbf M </tex> равна <tex> mathrm{sum}(x, y) = \mathrm{R}\langle{}\mathrm{If}(,\textbfmathrm{M-1g}\rangle(x,y) </tex>, где
<tex> \textbf M^n mathrm{f}(x) = x </tex> -  <tex>n\mathrm{g}(x, y, z) = \mathrm{N}(z) </tex>  <tex> \mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x,y) = \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x) & y = 0\\ \mathrm{g}(x, y-местная константа1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, получается аналогичным к y-1)) & y > 0\end{array}\right.</tex> <tex> =\left\{\begin{array} {ll} x & y = 0\\ \mathrm{N}(\mathrm{R} \langle{}\textbf mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, y-1)) & y > 0^n \end{array}\right.</tex>  <tex>=\left\{\begin{array} {ll} x & y = 0\\ образом \mathrm{N}(\mathrm{sum}(x, y-1)) & y > 0 \end{array}\right. </tex> Можно преобразовать в более простой вид.
===== Сложения =====
<tex> \mathrm{sum}(x,0) = x </tex>
<tex> \mathrm{sum}(x,y+1) = \mathrm{hN}(x,y,\mathrm{sum}(x,y-1)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(x,y,z)=\mathrm{I}(z) </tex>
===== Умножения =====<tex> \mathrm{prod}(x,0) = \textbf 0^1mathrm{Z}(x) </tex>
<tex> \mathrm{prod}(x,y+1) = \mathrm{hsum}(x,y,\mathrm{prod}(x,y-1)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z)=\mathrm{sum}(x,z) </tex>
===== Вычитания =====Если <tex> x < \leqslant y </tex>, то <tex> \mathrm{sub}(x,y) = 0 </tex> , иначе <tex> \mathrm{sub}(x,y) = x - y </tex>.
Рассмотрим сначала вычитания единицы <tex> \mathrm{sub_{1}}(x) = x - 1 </tex>
<tex> \mathrm{sub_1}(0) = \textbf mathrm{Z}(0 ) </tex>
<tex> \mathrm{sub_1}(x+1) = \mathrm{h}(x,\mathrm{sub_1}(x)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y) = x </tex>
Теперь рассмотрим <tex> \mathrm{sub}(x,y) </tex>
<tex> \mathrm{sub}(x,0) = x </tex>
<tex> \mathrm{sub}(x,y+1) = \mathrm{hsub_1}(x,y,\mathrm{sub}(x,y-1)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) =\mathrm{sub_1}(z) </tex>
===== Операции сравнения =====
<tex> \mathrm{eq}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x = y </tex>, иначе <tex> \mathrm{eq}(x,y) = 0 </tex>
<tex> \mathrm{le}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x \le leqslant y </tex>, иначе <tex> \mathrm{lq}(x,y) = 0 </tex>
<tex> \mathrm{lower}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x < y </tex>, иначе <tex> \mathrm{lower}(x,y) = 0 </tex>
Сначала выразим <tex> \mathrm{eq_{0}}(x) = \mathrm{eq}(x,0) </tex>
<tex> \mathrm{eq_0}(0) =\mathrm{IN}(\textbf 0) </tex>
<tex> \mathrm{eq_0}(y+1) = \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) = \textbf 0^2mathrm{Z}(x,y-1) </tex>
Теперь все остальные функции
<tex> \mathrm{eq}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(y,x)) </tex>
<tex> \mathrm{lower}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(\mathrm{IN}(x),y)) </tex>
===== IF =Условный оператор ====
<tex> \mathrm{if}(0,x,y) = y </tex>
<tex> \mathrm{if}(c+1,x,y) = \mathrm{h}(c,x,y,\mathrm{if}(c,x,y)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(c,x,y,d) = x </tex> ===== Деление ===== <tex> \mathrm{divide}(x,y) = \lfloor {\frac{x}{y}} \rfloor </tex>, если <tex> y > 0 </tex>. Если же <tex> y = 0 </tex>, то <tex> \mathrm{divide}(x,0) </tex> и все связанные с делением функции равны каким то ,не интересными для нас, числами.
Сначала определим ==== Деление ====<tex> \mathrm{divmaxdivide}(x,y) = \Bigl \lfloor \dfrac{x}{y} \Bigr \rfloor </tex> {{---}} функция равна максимальному числу меньшему или равному , если <tex> x y > 0 </tex>,которое нацело делится на . Если же <tex> y = 0 </tex>, то значение функции нас не интересует, и можно определить её как угодно.
Сначала определим <tex> \mathrm{divmax}(0x,y) =\textbf 0^</tex> {{1---} } функция равна максимальному числу меньшему или равному <tex> x</tex>, которое нацело делится на <tex> y </tex>.
<tex> \mathrm{divmax}(x+10,y) = \mathrm{hZ}(x,y,\mathrm{divmax}(x,y)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{if}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{I}(x),z),y),\mathrm{I}(x),z) </tex>,
или не формально если <tex> \mathrm{divmax}(x+1 - ,y ) = z </tex> то <tex> \mathrm{hif}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{N}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y)),zy) = x+1 ,</tex>, иначе <tex> \mathrm{hN}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y,z) = z )</tex>
Теперь само деления
<tex> \mathrm{divide}(0,y) =\textbf 0^{1} </tex> <tex> \mathrm{divide}(x,y) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{divide}(x,y)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{sum}(z,\mathrm{eq}(\mathrm{I}(x),\mathrm{divmax}(\mathrm{IZ}(x),y))) </tex>
или не формально если <tex> \mathrm{divide}(x+1~,y) = \vdots~mathrm{h}(x,y ,\mathrm{divide}(x,y)) </tex>, то где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{sum}(z+1 </tex>, иначе <tex> \mathrm{heq}(\mathrm{N}(x),\mathrm{divmax}(\mathrm{N}(x),y,z) = z )) </tex>
Остаток от деления выражается так:
<tex> \mathrm{mod}(x,y) = \mathrm{sub}(x,\mathrm{mul}(y,\mathrm{divide}(x,y))) </tex>
===== Работа со списками фиксированной длины =====С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск <tex> n </tex> - ого простого числа.Рассмотрим список из натуральны чисел <tex> [x_1,\ldots,x_n] </tex>, тогда ему в соответствия можно поставить число <tex> p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} </tex>, где <tex> p_i </tex> {{- --}} <tex>i</tex>-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие <tex> i </tex> - того
элемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел.
==Теоремы===== Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций ====
{{Теорема
|statement= Если для [[Вычислимые функции|вычислимой функции]] <tex> \mathrm{F} </tex> существует примитивно рекурсивная функция <tex> \mathrm{T} </tex>, такая что для любых аргументов <tex> args </tex> максимальное количество шагов, за которое будет посчитана <tex> \mathrm{F}(x) </tex> на [[Машина Тьюринга|МТ]] равно <tex> \mathrm{T}(args) </tex>, то <tex> \mathrm{F} </tex> примитивно рекурсивная функция.
Каждому состоянию [[Машина Тьюринга|МТ]] поставим в соответствие список из четырех чисел <tex> [L,R,S,C] </tex>, где:
*<tex> L </tex> {{- --}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] слева от головки ленты, представлено в виде числа в системы счисления с основанием равным алфавиту [[Машина Тьюринга|МТ]]. Младшие разряды находятся возле головки. Пробелу соответствует ноль, чтобы число было конечным.
*<tex> R </tex> {{- --}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] справа от головки, представлено аналогично <tex> L </tex> только возле головки [[Машина Тьюринга|МТ]] находятся старшие разряды.
*<tex> S </tex> {{- --}} номер текущего состояния.
*<tex> C </tex> {{- --}} символ на который указывает головка ленты.
Тогда всем переходам соответствует функция <tex> \mathrm{f}([L,R,S,C]) </tex> принимающая состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] и возвращающая новое состояние.
Рассмотрим функцию двух аргументов <tex> \mathrm{N}([L,R,S,C],t) </tex> которая принимает состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] , число шагов <tex> t </tex> и возвращает состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] после <tex> t </tex> шагов.
Покажем что <tex>\mathrm{N}</tex> {{- --}} примитивно рекурсивная функция.
<tex> \mathrm{N}([L,R,S,C],t) = [L,R,S,C] </tex>
<tex> \mathrm{N}([L,R,S,C],t+1) = \mathrm{h}([L,R,S,C],t+1,\mathrm{N}([L,R,S,C],t)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}([L,R,S,X],y,[L1,R1,S1,C1]) = \mathrm{f}([L1,R1,S1,C1]) </tex>
Вместо <tex> t </tex> подставим <tex> \mathrm{T}(args) </tex> и в итоге получим что <tex> \mathrm{F}(args) = \mathrm{OUT}(\mathrm{N}(\mathrm{IN}(args),\mathrm{T}(args))) </tex> {{- --}} примитивно рекурсивная функция.
}}
 
==Источники информации ==
* Н. К. Верещагин, А. Шень. [http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-2.pdf Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. 4-е изд., испр., М.: МЦНМО, 2012]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8) Рекурсивные функции на википедии]
==См. также ==
* [[Частично рекурсивные функции]]
==Источники информации ==
* Н. К. Верещагин, А. Шень. [http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-2.pdf Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. 4-е изд., испр., М.: МЦНМО, 2012]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8) Википедия {{---}} Рекурсивная функция]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_recursive_function Wikipedia {{---}} Primitive recursive function]
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Вычислительные формализмы]]
Анонимный участник

Навигация