Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Примитивно рекурсивные функции

287 байт добавлено, 00:26, 20 марта 2019
Работа со списками фиксированной длины
<li> <tex>\mathrm{U^n_i}</tex> {{---}} проекция (<tex>i</tex>-ый аргумент среди <tex>n</tex>).</li>
<tex>\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{U^n_i} (x_1, ... \ldots, x_n) = x_i</tex>
<li> <tex>\mathrm{S}</tex>{{---}} подстановка.</li>
Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g_1}, ... \ldots, \mathrm{g_n}: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\ldots, \mathrm{g_n}\rangle: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>. При этом <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\ldots, \mathrm{g_n}\rangle (x_1,...\ldots, x_m) = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1,...\ldots, x_m), ... \ldots \mathrm{g_n}(x_1,...\ldots, x_m))</tex>
<li> <tex>\mathrm{R}</tex> {{---}} примитивная рекурсия.</li>
Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g}:\mathbb{N}^{n+2} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x_1,...\ldots, x_n,y) = \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x_1,...\ldots, x_n) & y = 0\\ \mathrm{g}(x_1,...\ldots, x_n,y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x_1,...\ldots, x_n,y-1)) & y > 0
\end{array}\right.</tex>
<li> <tex>\mu</tex> {{---}} минимизация.</li>
Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle (x_1,...\ldots, x_n)</tex> &mdash; такое минимальное число <tex>y</tex>, что <tex>\mathrm{f}(x_1,...\ldots, x_n,y) = 0</tex>. Если такого <tex>y</tex> нет, результат данного примитива неопределен.
</ol>
{{Определение
<tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y) = \mathrm{Z}(y) </tex>
 
Теперь вместо функции <tex>\mathrm{Z}(x)</tex> будем использовать константу <tex>\textbf 0</tex>, обозначив ее как <tex>\mathrm{Z}(x)</tex>.
====Константа <tex> \textbf M </tex>====
<tex> \textbf M(x) = \underbrace{\mathrm{N}(... \ldots (\mathrm{N}}_{ \text{M раз} }(\mathrm{Z}(x))))</tex>
<tex> \textbf M^n </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная константа, получается аналогичным к <tex> \textbf 0^n </tex> образом.
<tex> \mathrm{sum}(x,0) = x </tex>
<tex> \mathrm{sum}(x,y+1) = \mathrm{N} (\mathrm{sum}(x,y-1)) </tex>
==== Умножения ====
<tex> \mathrm{prod}(x,0) = \textbf 0^1mathrm{Z}(x) </tex>
<tex> \mathrm{prod}(x,y) = \mathrm{sum}(x,\mathrm{prod}(x,y-1)) </tex>
Рассмотрим сначала вычитания единицы <tex> \mathrm{sub_{1}}(x) = x - 1 </tex>
<tex> \mathrm{sub_1}(0) = \textbf mathrm{Z}(0 ) </tex>
<tex> \mathrm{sub_1}(x+1) = x </tex>
<tex> \mathrm{eq_0}(0) =\mathrm{N}(0) </tex>
<tex> \mathrm{eq_0}(y) = \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) = \textbf 0^2mathrm{Z}(x,y-1) </tex>
Теперь все остальные функции
<tex> \mathrm{lower}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(\mathrm{N}(x),y)) </tex>
==== IF Условный оператор ====
<tex> \mathrm{if}(0,x,y) = y </tex>
<tex> \mathrm{if}(c+1,x,y) = x </tex>
==== Деление ====
<tex> \mathrm{divide}(x,y) = \Bigl \lfloor \dfrac{x}{y} \Bigr \rfloor </tex>, если <tex> y > 0 </tex>. Если же <tex> y = 0 </tex>, то <tex> \mathrm{divide}(xзначение функции нас не интересует,0) </tex> и все связанные с делением функции равны каким-то неинтересными для нас числамиможно определить её как угодно.
Сначала определим <tex> \mathrm{divmax}(x,y) </tex> {{---}} функция равна максимальному числу меньшему или равному <tex> x</tex>, которое нацело делится на <tex> y </tex>.
<tex> \mathrm{divmax}(0,y) =\textbf 0^mathrm{1Z} (y) </tex>
<tex> \mathrm{divmax}(x+1,y) = \mathrm{if}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{N}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y)),y),</tex><tex>\mathrm{N}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y)) </tex>
Теперь само деления
<tex> \mathrm{divide}(0,y) =\textbf 0^mathrm{1Z} (y) </tex>
<tex> \mathrm{divide}(x,y) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{divide}(x,y)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{sum}(z,\mathrm{eq}(\mathrm{N}(x),\mathrm{divmax}(\mathrm{N}(x),y))) </tex>
==== Работа со списками фиксированной длины ====
С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск <tex> n </tex>-ого простого числа.
Рассмотрим список из натуральны чисел <tex> [x_1,\ldots,x_n] </tex>, тогда ему в соответствия можно поставить число <tex> p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} </tex>, где <tex> p_i </tex> {{- --}} <tex>i</tex>-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие <tex> i </tex> - того
элемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел.
Анонимный участник

Навигация