Изменения

Одно из наиболее привлекательных свойств рациональных [[Производящая функция|производящих функций]] {{---}} их замкнутость относительно произведения Адамара.

{{Определение

Наоборот, предположим, что коэффициенты производящей функции, начиная с некоторого номера, представляются в виде квазимногочлена. Покажем, что в случае квазимногочлена <tex>p(n) q^{n}</tex> соответствующая производящая функция рациональна. Пусть степень многочлена <tex>p</tex> равна <tex>k - 1</tex>. Многочлены <tex>P_0, P_1, \dots, P_{k - 1}</tex>, определенные равенством <tex>\dfrac{(n + 1)(n + 2)\dots(n + k - 1)}{(k - 1)!} q^{n} = P_{k - 1}(n) q^{n}</tex>, образуют базис в пространстве многочленов степени не выше <tex> k - 1</tex>. Действительно, любая последовательность многочленов степеней <tex>0, 1, \dots, k - 1</tex> образует базис в этом пространстве. Поэтому многочлен <tex>p</tex> представляется в виде линейной комбинации многочленов <tex>P_i</tex> и соответствующая производящая функция есть просто линейная комбинация функций <tex>(1 - q s)^{-j}</tex>, <tex>j = 0, 1, \dots, k - 1</tex>.

Для произвольного квазимногочлена мы получаем линейную комбинацию функций такого вида при разных <tex>q_i</tex>.}}

{{Теорема