693
правки
Изменения
→Рациональность произведения Адамара
\dots, p_l(n)</tex>, что начиная с некоторого номера <tex>n</tex>
<tex>a_n = p_1(n) q_1^n + \dots + p_l(n) q_l^n.</tex>
Выражение в правой части равенства называется '''квазимногочленом ''' (англ. ''quasypolynomial'') от переменной <tex>n</tex>.
|proof=
Заметим прежде всего, что производящая функция <tex>(1 - q s)^{-k}</tex> имеет вид
<tex>(1 - q s)^{-k} = 1 - \begin{pmatrix} -k \choose \ 1\end{pmatrix} q s + \begin{pmatrix} -k \choose \ 2\end{pmatrix} q^{2} s^{2} - \begin{pmatrix} -k\choose \ 3\end{pmatrix} q^{3} s^{3} + \dots = </tex>:::<tex> = 1+ \begin{pmatrix} k \choose \ 1\end{pmatrix} q s + \begin{pmatrix} k + 1 \choose \ 2\end{pmatrix} q^{2} s^{2} + \begin{pmatrix} k + 2 \choose \ 3\end{pmatrix} q^{3} s^{3} + \dots =</tex>:::<tex> = 1 + \begin{pmatrix} k \choose \ k - 1\end{pmatrix} q s + \begin{pmatrix} k + 1 \choose \ k - 1\end{pmatrix} q^{2} s^{2} + \begin{pmatrix} k + 2 \choose \ k - 1\end{pmatrix} q^{3} s^{3} + \dots</tex>
Коэффициент при <tex>s^n</tex> в этой производящей функции равен
является тоже рациональной. Проще говоря, произведение Адамара двух рациональных производящих функций рационально.
|proof= Для доказательства теоремы осталось заменитьзаметить, что произведение квазимногочленов является квазимногочленом. Это утверждение непосредственно вытекает из формулы <tex>a_n = p_1(n) q_1^n + \dots + p_l(n) q_l^n.</tex>.}}
== См. также ==
