18
правок
Изменения
м
В целомявляется тоже рациональной. Проще говоря, Произведение произведение Адамара двух рациональных производящих функций тоже рационально. Это видно, заметив, что коэффициенты рациональной производящей функции образуют квазимногочлен вида<tex>f_n = p_1(n) p_1^n+\dots+p_l(n) p_l^n</tex>,
Где взаимные корни|proof= Для доказательства теоремы осталось заметить, что произведение квазимногочленов является квазимногочленом. Это утверждение непосредственно вытекает из формулы <tex>p_i a_n = p_1(n) q_1^n + \in \mathbb{C}</tex>, являются фиксированными скалярами и где <tex>p_idots + p_l(n)</tex> это многочлен от <tex>q_l^n</tex> для всех <tex>1 \leqslant i \leqslant l</tex>. Для примера произведение Адамара двух производящих функций:}}
иВоспользуемся результатом [[#lemma1|леммы]]: коэффициент при <tex>s^n</tex> равен <tex>\dfrac{(n + 1)(n + 2)\dots(n + k - 1)}{(k - 1)!} q^{n}</tex>.
Задаются формулами рациональных производящих функцийПервая дробь: <tex>k = 1,\, q = -1</tex>, вторая: <tex>k = 1,\, q = 2</tex>, третья: <tex>k = 2,\, q = 2</tex>, четвертая: <tex>k = 1,\, q = 1</tex>.
Добавил точки, привел решение второй задачи к формату первой
Одно из наиболее привлекательных свойств рациональных [[Производящая функция|производящих функций ]] {{---}} их замкнутость относительно произведения Адамара.
{{Определение
|definition = '''Произведением Адамара''' (англ. ''Hadamard product'') производящих функций <tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex> и <tex>B(s) = b_0 + b_1 s + b_2 s^2 + \dots</tex> называется производящая функция <tex>A(s) \circ B(s) = (a_0 b_0) + (a_1 b_1) s + (a_2 b_2) s^2 + \dots</tex>.
}}
Таким образом, произведение Адамара двух последовательностей {{---}} это последовательность, состоящая из почленных произведений соответственных членов этих последовательностей. Необходимость в производящей функции для произведения Адамара уже встречалась: в [[Задача о счастливых билетах|задаче о числе счастливых билетов]] нам понадобилось вычислить сумму квадратов коэффициентов производящего многочлена <tex>A_3</tex>. Эта необходимость возникает при перечислении пар объектов одинакового порядка: если число объектов первого типа равно <tex>a_n</tex>, а число объектов второго типа <tex>b_n</tex> то число пар объектов, составленных из элементов первого и второго типа, равно <tex>a_n b_n</tex>.
==Рациональность произведения Адамара==
{{Лемма
|id=lemma1
|statement=Производящая функция для последовательности <tex>a_0, a_1,
a_2, \dots</tex> рациональна тогда и только тогда, когда существуют такие числа <tex>q_1, \dots, q_l</tex> и такие многочлены <tex>p_1(n),
\dots, p_l(n)</tex>, что начиная с некоторого номера <tex>n</tex>
<tex>a_n = p_1(n) q_1^n + \dots + p_l(n) q_l^n.</tex>
Выражение в правой части равенства называется '''квазимногочленом ''' (англ. ''quasypolynomial'') от переменной <tex>n</tex>.
|proof=
Заметим прежде всего, что производящая функция <tex>(1 - q s)^{-k}</tex> имеет вид
<tex>(1 - q s)^{-k} = 1 - \begin{pmatrix} -k \choose \ 1\end{pmatrix} q s + \begin{pmatrix} -k \choose \ 2\end{pmatrix} q^{2} s^{2} - \begin{pmatrix} -k\choose \ 3\end{pmatrix} q^{3} s^{3} + \dots = </tex>:::<tex> = 1+ \begin{pmatrix} k \choose \ 1\end{pmatrix} q s + \begin{pmatrix} k + 1 \choose \ 2\end{pmatrix} q^{2} s^{2} + \begin{pmatrix} k + 2 \choose \ 3\end{pmatrix} q^{3} s^{3} + \dots =</tex>:::<tex> = 1 + \begin{pmatrix} k \choose \ k - 1\end{pmatrix} q s + \begin{pmatrix} k + 1 \choose \ k - 1\end{pmatrix} q^{2} s^{2} + \begin{pmatrix} k + 2 \choose \ k - 1\end{pmatrix} q^{3} s^{3} + \dots</tex>
Коэффициент при <tex>s^n</tex> в этой производящей функции равен
{{Теорема
|statement=Произведение Адамара двух рациональных производящих функций рационально.|proof= Для доказательства теоремы осталось заменитьПредположим, что произведение квазимногочленов является квазимногочленом. Это утверждение непосредственно вытекает из формулы производящие функции для последовательностей <tex>a_0, a_1, a_2, \dots</tex> и <tex>b_0, b_1, b_2, \dots</tex> <tex>a_n = p_1A(ns) q_1= a_0 + a_1 s + a_2 s^n 2 + \dots + p_l</tex> и <tex>B(ns) q_l= b_0 + b_1 s + b_2 s^n.2 + \dots</tex>}} являются рациональными. Значит производящая функция для их произведения Адамара
<tex>A(s) \circ B(s) =====Пример произведения Адамара рациональных производящих функций=====(a_0 b_0) + (a_1 b_1) s + (a_2 b_2) s^2 + \dots</tex>.
== Примеры применения теоремы =={{Задача|definition = Представьте в виде квазимногочлена коэффициент производящей функции <tex>FA(zs) = \dfrac{1+ 2s}{(1 - 2s)(1 + a_1 z 3s)}</tex>.}}Разобьем дробь на сумму простых дробей: <tex>A(s)=\dfrac{1 + a_2 z^22s}{(1 - 2s)(1 + 3s)}=\dfrac{1/5}{1 + 3s} + \dfrac{4/5}{1 - 2s}</tex>.
Для первой дроби <tex>Gk = 1,\, q = -3</tex>, для второй: <tex>k = 1,\, q = 2</tex>. Тогда <tex>a_{n} = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{(1 - 1)!} (-3)^{n} + \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{(1 - 1)!} (2)^{n} =\dfrac{(-3)^{n}}{5} + \dfrac{4}{5} \cdot 2^{n} </tex>. {{Задача|definition = Представьте в виде квазимногочлена коэффициент производящей функции <tex>A(zs) = \dfrac{s^2}{(1 - 2s)^{2}(1 + s)(1- s)}</tex>.}}Разобьем на сумму простых дробей: <tex>A(s)=\dfrac{s^2}{(1 - 2s)^{2}(1 + b_1 z s)(1 - s)} = \dfrac{1/18}{1 + s} + b_2 z\dfrac{-8/9}{1 - 2s} + \dfrac{1/3}{(1 - 2s)^2} + \dfrac{1/2}{1 - s}</tex>.
Тогда, используя лемму, получаем, что <tex>(F \circ G)(z) a_{n} = \dfrac{(-1 - a_2 b_2 z)^2n}{1 18} - a_1 b_1 z \dfrac{8}{9} \cdot 2^n + \dfrac{n + 1}{(a_2 b_1^2 + a_1^2 b_2 - a_2 b_21) z!} \cdot 2^n + \dfrac{1}{2 - a_1 a_2 b_1 b_2 z}\cdot 1^3 n = \left(n + a_2\dfrac{1}{9}\right) \cdot 2^2 b_2n + (-1)^{n}\dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{2 z^4}</tex>.
== См. также ==
==Источники информации==
* ''Ландо С. К.'', Лекции о производящих функциях. {{---}} 3-е изд., испр. {{---}} М.: МЦНМО, 2007. {{---}} 26с. ISBN 978-5-94057-042-4
* [[wikipedia:en:Generating function transformation | Wikipedia {{---}} Generating function transformation]]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
