Изменения

Выражение в правой части равенства называется '''квазимногочленом''' (англ. ''quasypolynomial '')квазимногочленом от переменной <tex>n</tex>.

|proof= Для доказательства теоремы осталось заменитьзаметить, что произведение квазимногочленов является квазимногочленом. Это утверждение непосредственно вытекает из формулы <tex>a_n = p_1(n) q_1^n + \dots + p_l(n) q_l^n</tex>.}} == Примеры применения теоремы =={{Задача|definition = Представьте в виде квазимногочлена коэффициент производящей функции <tex>A(s)=\dfrac{1 + 2s}{(1 - 2s)(1 + 3s)}</tex>.}}Разобьем дробь на сумму простых дробей: <tex>A(s)=\dfrac{1 + 2s}{(1 - 2s)(1 + 3s)}=\dfrac{1/5}{1 + 3s} + \dfrac{4/5}{1 - 2s}</tex>. Воспользуемся результатом [[#lemma1|леммы]]: коэффициент при <tex>s^n</tex> равен <tex>\dfrac{(n + 1)(n + 2)\dots(n + k - 1)}{(k - 1)!} q^{n}</tex>. Для первой дроби <tex>k = 1,\, q = -3</tex>, для второй: <tex>k = 1,\, q = 2</tex>. Тогда <tex>a_{n} = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{(1 - 1)!}(-3)^{n}+ \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{(1 - 1)!} (2)^{n} =\dfrac{(-3)^{n}}{5} + \dfrac{4}{5} \cdot 2^{n} </tex>. {{Задача|definition = Представьте в виде квазимногочлена коэффициент производящей функции <tex>A(s)=\dfrac{s^2}{(1 - 2s)^{2}(1 + s)(1 - s)}</tex>.}}Разобьем на сумму простых дробей: <tex>A(s)=\dfrac{s^2}{(1 - 2s)^{2}(1 + s)(1 - s)} = \dfrac{1/18}{1 + s} + \dfrac{-8/9}{1 - 2s} + \dfrac{1/3}{(1 - 2s)^2} + \dfrac{1/2}{1 - s}</tex>. Первая дробь: <tex>k = 1,\, q = -1</tex>, вторая: <tex>k = 1,\, q = 2</tex>, третья: <tex>k = 2,\, q = 2</tex>, четвертая: <tex>k = 1,\, q = 1</tex>. Тогда, используя лемму, получаем, что <tex>a_{n} = \dfrac{(-1)^n}{18} - \dfrac{8}{9} \cdot 2^n + \dfrac{n + 1}{(2 - 1)!} \cdot 2^n + \dfrac{1}{2}\cdot 1^n = \left(n + \dfrac{1}{9}\right) \cdot 2^n + (-1)^{n}\dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{2}</tex>.