21
правка
Изменения
м
→Формула Лейбница
== Инвариантность формы записи ==
<tex>df(x) = f'(x) dx,\ x = \phi(t),\ F(t) = f(\phi(t))</tex><br><tex>dF = [f(\phi(t))]' dt = f'(x) \phi'(t) dt</tex><br><tex>dx = \phi'(t) dt,\ df = dF</tex><br>
Чтобы найти дифференциал сложной [[Отображения|функции]], достаточно найти дифференциал внешней
<tex>df = f'(x) \phi'(t) dt</tex><br />
<tex>d^2 F = [f'(x) \phi'(t) dt]' dt = </tex><br />
<tex>[f''(x)(\phi'(t) dt)^2 + f'(x) \phi''(t)]dt^2 = </tex><br />
<tex>f''(x) [\phi'(t) dt]^2 + f''(x) \phi''(t) dt^2 = </tex><br />
<tex>f''(x)dx^2 + f''_x(x) d^2 x \ne d^2f</tex>
Определённое значение имеет так называемая формула Лейбница
для вычисления <tex>(fguv)^{(n)}</tex>:
<tex>(fguv)^{(n)} = \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k u^{(k)} v^{(n - k)}</tex>.
Эта формула доказывается по индукции аналогично биномиальным коэффициентам.
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
