Изменения

'''Производя́щая фу́нкция Производящая функция''' (англ. ''generating function)''' ) — это формальный степенной ряд:вида <tex>G(z)=\sum_sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n</tex>,порождающий (производящий) последовательность <tex>(a_0, a_1, a_2, ...\ldots)</tex>.

* Компактной записи информации о последовательности;.* Нахождения зависимости <tex>a_n(n)</tex> для последовательности <tex>a_n</tex>, заданной рекуррентным соотношением. Например, для чисел Фибоначчи;.* Нахождения рекуррентного соотношения для последовательности {{---}} вид производящей функции может помочь найти формулу;.* Исследования асимптотического поведения последовательности;.* Доказательства тождеств с последовательностями;.* Решения задачи подсчета объектов в комбинаторике. Например, в доказательстве [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|пентагональной теоремы]] или в задаче нахождения количества расстановок <tex>m </tex> ладей на доске <tex>n&nbsp;×&nbsp;\times n;</tex>.* Вычисления бесконечных сумм.  

* <tex dpi = "180">\prod_prod\limits_{n=1}^\infty (1-x^n)</tex> {{---}} производящая функция для разности количества разбиений числа <tex>n </tex> в четное и нечетное число различных слагаемых. Например , коэффициент при <tex>x^5</tex> {{---}} равен <tex>+1</tex>, потому-что существует два разбиение разбиения на четное число различных слагаемых <tex>(4+1; 3+2) </tex> и одно на нечетное (<tex>5</tex>). Правильность этого легко осознать, если понять, что каждая скобка представляет какое-то слагаемое и мы можем его взять (второе слагаемое {{---}} <tex>-x^k</tex>) или не взять (первое {{---}} <tex>1</tex>). Эта производящая функция используется в комбинаторном доказательстве пентагональной теоремы. * <tex dpi = "180"> \prod_{n=1}^\infty \frac{1}{1-x^n}</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>p_n</tex>, где <tex>p_i</tex> {{---}} количество разбиений числа i на слагаемые.

* <tex dpi = "180">\prod_prod\limits_{n=1}^\infty (\dfrac{1}{1+-x^n)}</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>d_np_n</tex>, где <tex>d_ip_i</tex> {{---}} количество число разбиений числа <tex>i</tex> на различные слагаемые.

* <tex dpi = "180">\prod_prod\limits_{n=1}^\infty (1+x^{2n-1}n)</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>l_nd_n</tex>, где <tex>l_id_i</tex> {{---}} количество число разбиений на нечётные различные слагаемые. С помощью метода производящих функций можно доказать, что производящие функции последовательностей равны, соответственно <tex>d_n=l_n</tex>:<tex dpi = "180"> \prod_{n=1}^\infty (1+x^{n})=\prod_{n=1}^\infty \frac{1-x^{2n}}{1-x^n}=\frac{1-x^2}{1-x}\frac{1-x^4}{1-x^2}\frac{1-x^6}{1-x^3}...=</tex>

Существует целый класс последовательностей, задаваемых рекуррентным соотношением, например, <tex>f_n</tex> {{---}} числа Фибоначчи или <tex>C_n</tex> {{---}} [[Числа Каталана | числа Каталана]]. Метод производящих функций позволяет получить выражение для <tex>a_n</tex> через номер элемента в последовательности в замкнутом виде, то есть в таком виде, что выражение можно вычислить, предполагая, что <tex>z </tex> достаточно мало.

Пусть последовательность <tex>(a_0, a_1, a_2, ...\ldots)</tex> удовлетворяет некоторому рекуррентному соотношению. Мы хотим получить выражение для <tex>a_n</tex> (при <tex>n \ge geqslant 0</tex>) в замкнутом виде. Алгоритм получения замкнутого выражения для чисел <tex>a_n</tex>, удовлетворяющих рекуррентному соотношению, с помощью производящих функций состоит из 4 шагов:

1)# Записать рекуррентное соотношение и начальные данные для него в следующем виде (если порядок соотношения равен <tex>k</tex>, то есть количество предшествующих элементов, требуемых для вычисления элемента с номером <tex>n</tex>, равно <tex>k</tex>):#: <tex>a_0=\ldots,</tex>#: <tex>a_1=\ldots,</tex>#: <tex>\ldots</tex>#: <tex>a_{k-1}=\ldots,</tex>#: <tex>a_{n}=\ldots, n \geqslant k.</tex># Домножить каждую строчку на <tex>z</tex> в соответствующей степени и просуммировать строчки для всех <tex>n \geqslant 0 </tex>.# В полученном уравнении привести все суммы к замкнутому виду. Получить уравнение для производящей функции.# Выразить <tex>G(z)</tex> в явном виде (решить уравнение, полученное на предыдущем шаге) и разложить производящую функцию в ряд по степеням <tex>z</tex>.

<tex>a_1a_0=...1,</tex>

<tex>a_{k-1}a_1=...2,</tex>

<tex>a_a_n= 6a_{ n - 1}-8a_{n-2}=...+n, n \ge k.geqslant 2</tex>

2)Домножить каждую строчку на z в соответствующей степени Запишем производящую функцию для этой последовательности и просуммировать строчки для всех n <tex> \ge 0 </tex>.преобразуем правую часть:

4)Выразить <tex>G(z)</tex> в явном виде =a_0+a_1z+\sum\limits_{n=2}^\infty(решить уравнение, полученное на предыдущем шаге6a_{ n - 1}-8a_{n-2}+n) и разложить производящую функцию в ряд по степеням <tex>z^n</tex>.

<tex>G(z)=a_0+a_1z+6\sum\limits_{n=2}^\infty a_ { n-1}z^n - 8\sum\limits_{n=2}^\infty a_ { n-2}z^n+\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>  <tex>G(z)=a_0+a_1z+6z\sum\limits_{n=1}^\infty a_ { n }z^n - 8z^2\sum\limits_{n=0}^\infty a_ { n }z^n+\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>  <tex>G(z)=a_0+a_1z+6z(G(z)-a_0) - 8z^2G(z)+\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>  <tex>G(z)=1-4z+6zG(z) - 8z^2G(z)+\sum\limits_{n=2}^\infty n z^n</tex>  Для того,чтобы замкнуть последнюю сумму воспользуемся очень важным приемом, который используется при преобразовании производящих функций. Фактически мы имеем дело с последовательностью <tex>nb_n</tex> (в нашем случае последовательность <tex>b_n= (1, 1, 1, \ldots)</tex>). Такая последовательность получается путём дифференцирования функции <tex>B(z)</tex>, производящей для <tex>b_n</tex>, с последующим умножением результата на <tex>z</tex>:  <tex>zB'(z)=z(\sum\limits_{n=0}^\infty b_n z^n)'=z\sum\limits_{ n = 1}^\infty nb_n z^{n-1}=\sum\limits_{n=0}^\infty nb_n z^n</tex> 

<tex>G(\sum\limits_{n=2}^\infty z)^n=a_0+a_1z+\sum_sum\limits_{n=20}^\infty (6a_{z^n-1-z=\dfrac{1}{1-z}-8a_1-z=\dfrac{n-z^2}+n) {1-z^n}</tex>

<tex>Gz(z)=a_0+a_1z+6\sum_dfrac{n=z ^ 2}^\infty a_{n1-1z})'=\dfrac{z^n 2(2- 8\sum_{n=2z)}^\infty a_{n(1-2}z)^n+\sum_{n=2}^\infty n z^n</tex>

<tex>G(z)=a_01-4z+a_1z+6z(G6zG(z)-a_0) - 8z^2G(z)+\sum_dfrac{n=z^2(2-z)}^\infty n {(1-z)^n2}</tex>

Это уравнение для производящей функции. Из него выражаем <tex>G(z)=1-4z+6zG(z) - 8z^2G(z)+\sum_{n=2}^\infty n z^n</tex>:

Для того, чтобы замкнуть последнюю сумму воспользуемся очень важным приемом, который используется при преобразовании производящих функций. Фактически мы имеем дело с последовательностью <tex>nb_n</tex> G(в нашем случае последовательность <tex>b_nz)=\dfrac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1, 1, 1, ...-6z+8z^2)</tex>). Такая последовательность получается путём дифференцирования функции <tex>B(1-z)^2}</tex>, производящей для <tex>b_n</tex>, с последующим умножением результата на z:

Разложим знаменатель на множители и разобьём дробь на сумму простых дробей <tex dpi = "150"ref>zB'(z)=z(\sum_{n=0}^\infty b_n z^n)'=z\sum_{n=1}^\infty nb_n z^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty nb_n z^n[http://www.genfunc.ru/theory/pril04/ О разложении рациональной функции в ряд]</texref>:

Тогда замкнем последнее Разложим первое слагаемое следующим образомв ряд, используя расширенные биномиальные коэффициенты <ref>[http://www.genfunc.ru/theory/pril02/ Расширенные биномиальные коэффициенты]</ref>:

<tex dpi >\dfrac{ 1}{(1-z)^2}= "150">(1-z)^{-2}=\sum\sum_limits_{n=20}^{\infty } {-2\choose n }(-z)^n=z \sum_sum\limits_{n=20}^{\infty } (-1)^n z^{n-+1\choose 1}(-z)^n= z (\sum_sum\limits_{n=20}^{\infty }(n+1)z^n)'</tex>

<tex dpi >G(z)=\dfrac{1/3}{(1-z)^2}+\dfrac{7/9}{1-z}-\dfrac{1/2}{1-2z}+\dfrac{7/18}{1-4z}= "150">\sum_dfrac{1}{3}\sum\limits_{n=20}^{\infty } (n+1)z^n=+\dfrac{7}{9}\sum\sum_limits_{n=0}^{\infty } z^n-1-z=\fracdfrac{1}{1-z2}-1-z\sum\limits_{n=0}^{\frac{infty} 2^n z^2n + \dfrac{7}{18}\sum\limits_{n=0}^{1-\infty} 4^n z}^n</tex>

<tex dpi >a_n= "150">z (\fracdfrac{n+1}{3}+\dfrac{7}{9}-\dfrac{z2^n}{2}+\dfrac{1-z7 \cdot 4^n}{18})'=\fracdfrac{z7 \cdot 4^2(2-z)n+6n+20}{(118}-z)2^2{n-1}</tex>

Разложим знаменатель на множители и [http:<tex>= \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1) p(1-p)^{n} = <//www.genfunc.ru/theory/pril04/ разобьём дробь на сумму простых дробей]:tex>

<tex dpi = "180">G(z)=\frac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-6z+8z^2)(1-zp)^2}=\fracoperatorname{1-6z+11z^2-5z^3E}{(1-2z\xi)(+1-4z)(1-z)^2}=\fracRightarrow \operatorname{1/3E}{(1-z\xi)^2}+= \frac{7/9}dfrac{1-z}-\frac{1/2}{1-2z}+\frac{7/18}{1-4zp}</tex>

<tex dpi >= "160">p\sum\fraclimits_{n=1}^{\infty}n(n+1-z)^2}=(1-zp)^{n-21}=- p\sum\sum_limits_{n=01}^{\infty} {-2\choose n}(1-zp)^{n-1} =</tex>

<tex dpi = "160">=p\dfrac{\operatorname{d}^{2}}{\sum_operatorname{d}p^{2}}\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (1-1p)^n{n+1} \choose cdot(1}(-zp)^n=2\right) +p\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\sum\sum_limits_{n=0}^{\infty}(n+1-p)z^{n}\cdot(1-p)\right) =</tex>

<tex dpi = "160">G(z)=p\dfrac{\fracoperatorname{1/3d}^{(1-z)^2}+}{\fracoperatorname{7/9d}p^{1-z2}}-\fracleft(\dfrac{(1/- p) ^ 2}{1-2zp}\right) +p\dfrac{\fracoperatorname{7/18d}}{\operatorname{d}p}\left(\dfrac{1-4zp}{p}\right) =</tex>

=== Пример задачи на нахождение производящей функции ==={{Задача| about = | definition = Рассмотрим множество путей на прямой, состоящих из шагов длины <tex>1</tex> вправо и влево. Найдите производящую функцию для числа таких путей из <tex>n</tex> шагов, начинающихся в <tex>0</tex> и оканчивающихся в <tex>0</tex>.}}Заметим, что для того, чтобы закончить путь в <tex>0</tex>, необходимо совершить равное число шагов вправо и влево. Тогда задача сводится к тому, чтобы выбрать <tex dpi = "160">a_n=\fracdfrac{n+1}{32}+\frac</tex> позиций для, например, шагов вправо из всего <tex>n</tex> шагов. Тогда ответом будет сумма от нуля до бесконечности по <tex>n</tex> всех <tex>C^{7n}_{92n}-</tex>. То есть:<tex>g(x) = \sum\fraclimits_{0}^{2\infty} C^{n}_{22n}+x^n</tex>Рассмотрим <tex>f(x) = \sum\fraclimits_{0}^{7 \cdot 4infty} C_n x^n</tex>, где <tex>C_n</tex> {{---}{18}[[Числа Каталана | число Каталана]]. Тогда, заметим что <tex>f'(x) =\fracsum\limits_{0}^{7 \cdot 4infty} n C_n x^{n-1} </tex>. Так как <tex>C_n = \dfrac{1}{n+6n+201}C_{182n}-2^{n-</tex>, то справедливо равенство:<tex>g(x) = (n+1})f(x) = xf'(x) + f(x)</tex>

=== Расчет дисперсии геометрического распределения ===Метод производящих функций также используется Мы знаем, что производящая функция для нахождения математического ожидания и дисперсии различных распределений в теории вероятностей. Например в [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 геометрическом распределении] для нахождения дисперсии чисел Каталана равна <tex>Df(\xix)=E(\xi^2)dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}</tex>. Найдем <tex>f'(E(\xi)x)^2</tex> нужно найти два мат. ожидания:

которые фактически являются производящими функциями последовательностей <tex>1Соответственно, 2, 3...</tex> и <tex>1, 4, 9...</tex>ответом будет производящая функция вида:

<tex dpi = "160">\operatorname{E}g(\xix)= p\sum_dfrac{1 - 2x - \sqrt{n=1-4x}}^{2x \inftysqrt{1-4x}}n+ \,(dfrac{1-p)^\sqrt{n1-14x}}{2x} =</tex>

{{Задача| about = | definition = Рассмотрим множество путей на прямой, состоящих из шагов длины <tex dpi = "160">= p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}(1-p)}\sum_{</tex> вправо и влево. Найдите производящую функцию для числа таких путей из <tex>n=</tex> шагов, начинающихся и оканчивающихся в <tex>0}^{\infty}\,(1-p)^{n} =</tex>и не заходящих в отрицательную полупрямую.}}

<tex dpi = "160">= - p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\Заметим,(1-p)^{n} \right) =</tex>что задача аналогична [[Правильные скобочные последовательности | Правильной скобочной последовательности]]. Тогда производящей функцией для нашей задачи будет производящая функция для правильной скобочной последовательности, а именно:

<tex dpi = "160">g(x) = - p\fracdfrac{1-\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\fracsqrt{1-4x}{p}\right) = \frac{1}{p2x}</tex>.

<tex dpi = "160"> \operatorname{E}(\xi^2) = p\sum_{nПриложения =1}^{\infty}n^{2}(1-p)^{n-1} =</tex> <tex dpi = "160"> =p\sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)(1Примеры простых производящих функций ===<!-p)^{n-1} easy биномы увеличить, но так имхо лучше- p\sum_{n=1}^{\infty}n(1-p)^{n-1} =</tex> На последнем шаге приведения производящей функции к замкнутому виду требуется разложить полученные слагаемые в ряд. Для этого можно воспользоваться таблицей основных производящих функций <tex dpi = "160"ref> = p\frac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}(1-p)^{n+1} + p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\sum_{n=1}^{\infty}(1-p)^{n} =[http://www.genfunc.ru/theory/pril03/ Таблица производящих функций]</texref>.

Все суммы выполняются по переменной <tex dpi >n</tex> от <tex>0</tex> до <tex>\infty</tex>. Элементы последовательности нумеруются от <tex>0</tex>. {| class="wikitable" style="width:30cm" border=1|+|-align="center" bgcolor=#EEEEFF| '''Последовательность''' || '''Производящая функция в виде ряда''' || '''Производящая функция в замкнутом виде'''|-align= "160left"bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, 0, 0,\ldots)</tex> || <tex>1</tex> || <tex>1</tex> |-align="left" bgcolor= p#FFFFFF| <tex>(0, 0, \frac{ldots, 0, 1, 0, 0\ldots)</tex> (<tex>m</tex> нулей в начале) || <tex>z^m</tex> || <tex>z^m</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, 1, 1,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits z^n</tex> || <tex>\operatornamedfrac{d1}{1-z}</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, 0, 0, \ldots, 0, 1, 0, 0, \ldots 0, 1, 0, 0\ldots)</tex> (повторяется через <tex>m</tex>) || <tex>\sum\limits z^{2nm}</tex> || <tex>\dfrac{1}{1-z^m}</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, -1, 1, -1,\ldots)</tex> || <tex>\sum\operatornamelimits (-1)^nz^n</tex> || <tex>\dfrac{d1}p{1+z}</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, 2, 3, 4,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits (n+1)z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-z)^2}</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, 2, 4, 8, 16,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits 2^nz^n</tex> || <tex>\dfrac{1}\{(1-2z)}</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, r, r^2, r^3,\sum_ldots)</tex> || <tex>\sum\limits r^nz^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{n(1-rz)}</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(</tex><tex>{m\choose 0}^, {m\choose 1}, {m\choose 2}, {m\choose 3},\ldots</tex><tex>)</tex> || <tex>\sum\limits {m\inftychoose n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>(1+z)^m</tex>|-palign="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(</tex><tex>1, {{m}\choose m}, {{m+1}\choose m}, {{m+2}\choose m},\ldots</tex><tex>)^</tex> || <tex>\sum\limits {{m+n-1} \cdot choose n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-pz)^m}</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(</tex><tex>1, {{m+1}\choose m}, {{m+2}\choose m}, {{m+3}\choose m},\rightldots</tex><tex>) </tex> || <tex>\sum\limits {{m+pn}\fracchoose n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>\dfrac{1}{(1-z)^{m+1}}</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(0, 1, -\operatornamedfrac{d1}{2}, \dfrac{1}{3}, -\operatornamedfrac{d1}p{4},\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>\ln(1+z)</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, 1, \sum_dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{24},\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{1}{n!}</tex> <tex>z^n</tex> || <tex>e^z</tex>|-align=0"left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(1, -\dfrac{1}{2!}m^2, \dfrac{1}{4!}m^4, -\dfrac{1}{6!}m^6, \dfrac{1}{8!}m^8,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \inftydfrac{1}{(2n)!}</tex> <tex>m^{(2n)}</tex> || <tex>\cos m</tex>|-align="left" bgcolor=#FFFFFF| <tex>(m, -\dfrac{1}{3!}m^3, \dfrac{1}{5!}m^5, -p)\dfrac{1}{7!}m^7, \dfrac{1}{n9!}m^9,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \cdotdfrac{1}{(2n-1)!}</tex> <tex>m^{(2n-p1)}</tex> || <tex>\right) =sin m</tex>|}

<tex dpi = "160"> = p\frac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\frac{1}{1-(1-p)} \cdot (1-p)^2\right) +p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\frac{1}{1-(1-p)}\cdot(1-p)\right) См. также ==</tex>

<tex dpi = "160"> = p\cdot\frac{2}{p^3} - p\cdot\frac{1}{p^2} - \frac{1}{p^2} Примечания = \frac{2}{p^{2}} - \frac{1}{p} = \frac{1}{p^{2}}<references/tex>.

== Ссылки Источники информации ==

* [http://www.genfunc.ru/ genfunc.ruПроизводящие функции]* [http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function Wikipedia {{--- }} Generating function]