31
правка
Изменения
→Пример задачи на нахождение производящей функции: Упрощение итоговой формулы
|id=main
|definition=
'''Производящая функция''' (англ. ''generating function'') — это формальный степенной ряд:<center>вида <tex>G(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n</tex>,</center>порождающий (производящий) последовательность <tex>(a_0, a_1, a_2, \ldots)</tex>.
}}
Метод производящих функций был разработан Эйлером в 1750-х годах.
* <tex>\prod\limits_{ n = 1}^\infty(1+x^n)</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>d_n</tex>, где <tex>d_i</tex> {{---}} число разбиений на различные слагаемые.
* <tex>\prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^{ 2n - 1})^{-1}</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>l_n</tex>, где <tex>l_i</tex> {{---}} число разбиений на нечётные слагаемые. С помощью метода производящих функций можно доказать, что производящие функции последовательностей равны, соответственно <tex>d_n = l_n </tex>: <tex>\prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^{ n})=\prod\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1-x^{2n}}{1-x^n}=\dfrac{1-x^2}{1-x}\dfrac{1-x^4}{1-x^2}\dfrac{1-x^6}{1-x^3}\ldots=</tex>
<tex>=\dfrac{1}{1-x}\dfrac{1}{1-x^3}\dfrac{1}{1-x^5}\ldots=\prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^{ 2n - 1})^{-1}</tex>
== Примеры решений задач методом производящих функций ==
<tex>
g(x) = \dfrac{1 - 2x - \sqrt{1-4x}}{2x \sqrt{1-4x}} + \dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 4x}}
</tex>
== Приложения ==
=== Примеры простых производящих функций ===
<!--easy биномы увеличить, но так имхо лучше--->На последнем шаге приведения производящей функции к замкнутому виду требуется разложить полученные слагаемые в ряд. Для этого можно воспользоваться таблицей основных производящих функций <ref>[http://www.genfunc.ru/theory/pril03/ Таблица производящих функций]</ref>.
Все суммы выполняются по переменной <tex>n</tex> от <tex>0</tex> до <tex>\infty</tex>. Элементы последовательности нумеруются от <tex>0</tex>.
| <tex>(m, -\dfrac{1}{3!}m^3, \dfrac{1}{5!}m^5, -\dfrac{1}{7!}m^7, \dfrac{1}{9!}m^9,\ldots)</tex> || <tex>\sum\limits \dfrac{1}{(2n-1)!}</tex> <tex>m^{(2n-1)}</tex> || <tex>\sin m</tex>
|}
== См. также ==
* [[Производящая функция Дирихле]]
== Примечания ==
