Изменения
→Примеры производящих функций
* Вычисления бесконечных сумм.
== Примеры производящих функций ==
Рассмотрим последовательность производящие функции для различных последовательностей: * <tex>a_n\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)</tex>{{---}} производящая функция для разности количества разбиений числа n в четное и нечетное число различных слагаемых. Например коэффициент при <tex>x^5</tex> {{---}} +1, каждый элемент потому-что существует два разбиение на четное число различных слагаемых (4+1; 3+2) и одно на нечетное (5). Правильность этого легко осознать, если понять, что каждая скобка представляет какое-то слагаемое и мы можем его взять (второе слагаемое {{---}} <tex>a_i-x^k</tex> которой равен количеству комбинаторных объектов некоторого типа размера ) или не взять (первое {{---}} 1). Эта производящая функция используется в комбинаторном доказательстве пентагональной теоремы. * <tex>i\prod_{n=1}^\infty frac{1}{1-x^n}</tex>. И покажем как выглядит {{---}} производящая функция этой для последовательности:<tex>p_n</tex>, где <tex>p_i</tex> {{---}} количество разбиений числа i на слагаемые.
== Решение рекуррентных соотношений ==
Пусть последовательность <tex>(a_0, a_1, a_2, ...)</tex> удовлетворяет некоторому рекуррентному соотношению. Мы хотим получить выражение для <tex>a_n</tex> (при <tex>n \ge 0</tex>) в замкнутом виде (то есть выразив лишь через номер члена последовательности).
