693
правки
Изменения
→Умножение
=== Умножение ===
Если <tex>A(s)</tex> и <tex>B(s)</tex> — производящие функции Дирихле двух последовательностей <tex>\{a_n\}_{n=1}^\infty</tex> и <tex>\{b_n\}_{n=1}^\infty</tex> соответственно, то <tex>A(s)B(s) = \dfrac{a_1b_1}{1^s} + \dfrac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \dfrac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \dfrac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} \dfracn^{-s}\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}}{n^s}</tex>, где внутреннее суммирование ведётся по всем разложениям числа <tex>n</tex> в произведение двух сомножителей.
=== Единица ===
Любая производящая функция Дирихле <tex>A(s)</tex> с ненулевым свободным членом (<tex>a_1 \neq 0</tex>) обратима, то есть для неё существует функция <tex>B(s)</tex>, такая что <tex>A(s)B(s) = 1</tex>.
Действительно, по правилу перемножения функций имеем <tex>A(s)B(s) = \dfrac{a_1b_1}{1^s} + \dfrac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \dfrac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \dfrac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} \dfracn^{-s}\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}}{n^s}</tex>, что в нашем случае равно <tex>1 = 1 ^ {-s}</tex>. Получаем, что <tex>a_1b_1 = 1</tex>, тогда <tex>b_1 = \dfrac{1}{a_1}</tex>. Остальные слагаемые равны <tex>0</tex>. Рассмотрим их. Известно, что коэффициент перед <tex>\dfrac{1}{n^s}</tex> равен <tex>\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l} = {a_1b_n} + \sum\limits_{kl=n,k\neq 1} {a_kb_l}</tex>. Отсюда <tex>{b_n} = -\dfrac{\sum\limits_{kl=n,k\neq 1} {a_kb_l}}{a_1}</tex> для всех <tex>n>1</tex>.
<!----
{{Утверждение
|statement= Последовательность <tex> \{a_n\}_{n=1}^{\infty} </tex> является мультипликативной тогда и только тогда, когда соответствующая ей производящая функция Дирихле имеет вид
<tex>A(s)= \prod\limits_p\bigg(1 + \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_p}{p^ns}\bigg)</tex>, где <tex>p</tex> принимает все простые значения.
}}
Перемножим функции <tex>M(s)</tex> и <tex>\zeta(s)</tex> и рассмотрим коэффициент при <tex>n^{-s}</tex>. Назовём его <tex>f_n</tex>. Тогда
<tex>f_n = \sum\limits_{k=0}^{t_n}(-1)^{k}\dbinom{t_n}{k}</tex>.
Действительно, пусть [[Разложение на множители (факторизация)|разложение <tex>n</tex> на простые множители ]] имеет вид <tex>n = p^{k_1}_1\ldots p^{k_{t_n}}_{t_n}</tex>. Тогда коэффициент при <tex>m^{−s}</tex> функции <tex>M(s)</tex> участвует в произведении с ненулевым коэффициентом в том и только в том случае, если <tex>m</tex> является произведением некоторого подмножества множества простых чисел <tex>n = p_1\ldots p_{t_n}</tex>. Число таких подмножеств из <tex>k</tex> элементов равно <tex>\dbinom{t_n}{k}</tex>, а знак соответствующего коэффициента при <tex>m^{−s}</tex> равен <tex>(-1)^{k}</tex>.
}}
