Производящая функция Дирихле — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Метки: правка с мобильного устройства, правка из мобильной версии)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 42 промежуточные версии 3 участников)
Строка 11: Строка 11:
 
* Вместо переменной <tex>x</tex> используется <tex>s</tex>. Это изменение связано больше с традициями, чем с математикой.  
 
* Вместо переменной <tex>x</tex> используется <tex>s</tex>. Это изменение связано больше с традициями, чем с математикой.  
 
* Принято писать <tex> \dfrac{a_n}{n^s} </tex> вместо <tex> {a_n}{n^{-s}} </tex>. Это считается более удобной формой.
 
* Принято писать <tex> \dfrac{a_n}{n^s} </tex> вместо <tex> {a_n}{n^{-s}} </tex>. Это считается более удобной формой.
 +
== Операции над производящими функциями Дирихле==
 +
 +
=== Сложение ===
 +
 +
Сложение производящих функций соответствует обычному почленному сложению последовательностей.
 +
 +
=== Умножение ===
 +
 +
Если <tex>A(s)</tex> и <tex>B(s)</tex> — производящие функции Дирихле двух последовательностей <tex>\{a_n\}_{n=1}^\infty</tex> и <tex>\{b_n\}_{n=1}^\infty</tex> соответственно, то <tex>A(s)B(s) = \dfrac{a_1b_1}{1^s} + \dfrac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \dfrac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \dfrac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} n^{-s}\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}</tex>, где внутреннее суммирование ведётся по всем разложениям числа <tex>n</tex> в произведение двух сомножителей.
 +
 +
=== Единица ===
 +
 +
Роль единицы при умножении производящих функций Дирихле играет функция <tex>1 = 1 ^ {-s}</tex>.
 +
 +
=== Обратимость ===
 +
 +
Любая производящая функция Дирихле <tex>A(s)</tex> с ненулевым свободным членом (<tex>a_1 \neq 0</tex>) обратима, то есть для неё существует функция <tex>B(s)</tex>, такая что <tex>A(s)B(s) = 1</tex>.
 +
 +
Действительно, по правилу перемножения функций имеем <tex>A(s)B(s) = \dfrac{a_1b_1}{1^s} + \dfrac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \dfrac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \dfrac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} n^{-s}\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}</tex>, что в нашем случае равно <tex>1 = 1 ^ {-s}</tex>. Получаем, что <tex>a_1b_1 = 1</tex>, тогда <tex>b_1 = \dfrac{1}{a_1}</tex>. Остальные слагаемые равны <tex>0</tex>. Рассмотрим их. Известно, что коэффициент перед <tex>\dfrac{1}{n^s}</tex> равен <tex>\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l} = {a_1b_n} + \sum\limits_{kl=n,k\neq 1} {a_kb_l}</tex>. Отсюда <tex>{b_n} = -\dfrac{\sum\limits_{kl=n,k\neq 1} {a_kb_l}}{a_1}</tex> для всех <tex>n>1</tex>.
 +
 +
<!----
 +
 +
Attention!
 +
Можно привести доказательство теоремы об обратной функции для дзета-функции Римана <!---лол, это была не я. (МК)//узковат кругозор у Вас, мужик, неприятненько было убирать за Вами :с --->
  
 
== Применение ==
 
== Применение ==
  
Производящие функции Дирихле используются в мультипликативной теории чисел. Введение производящей функции Дирихле обусловлено их поведением относительно умножения, что позволяет контролировать мультипликативную структуру натуральных чисел.
+
Производящие функции Дирихле используются в мультипликативной теории чисел. Введение производящей функции Дирихле обусловлено их поведением относительно умножения, что позволяет контролировать мультипликативную структуру натуральных чисел<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B8%D0%BF%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F Мультипликативные функции]</ref>.
  
{{Определение
+
<!------------jalko stirat' no net mesta---------{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
 
'''Мультипликативная функция''' (''multiplicative function'') {{---}} функция <math>f(m)</math>, такая что
 
'''Мультипликативная функция''' (''multiplicative function'') {{---}} функция <math>f(m)</math>, такая что
Строка 22: Строка 46:
  
 
:: <math>f(1)=1</math>.
 
:: <math>f(1)=1</math>.
 +
}}---------->
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
'''Мультипликативная последовательность''' (''multiplicative sequence'') {{---}} последовательность <tex> \{a_n\}_{n=1}^{\infty} </tex>, такая что <tex>a_{mn} = a_m a_n</tex> для любых чисел <math>m</math> и <math>n</math>.
 
}}
 
}}
 +
Заметим, что для мультипликативных последовательностей <tex>a_1=1</tex>. Иначе равенство <tex>a_{mn} = a_m a_n</tex> при <tex>m=1</tex> не выполнено, если <tex>a_1\neq 0</tex> либо превращается в нулевую последовательность, если <tex>a_1=0</tex>.
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement= Последовательность   <tex>{\{a_i\}}</tex> является  мультипликативной тогда и только тогда, когда для неё производящая функция Дирихле имеет вид
+
|statement= Последовательность <tex> \{a_n\}_{n=1}^{\infty} </tex> является  мультипликативной тогда и только тогда, когда соответствующая ей производящая функция Дирихле имеет вид
<tex>A(s)= \prod\limits_p(1 + \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_p}{p^ns})</tex>, где <tex>p</tex> принимает все простые значения.
+
<tex>A(s)= \prod\limits_p\bigg(1 + \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_p}{p^{ns}}\bigg)</tex>, где <tex>p</tex> принимает все простые значения.
 
}}
 
}}
 
  
 
== Примеры ==
 
== Примеры ==
Строка 70: Строка 98:
 
|}
 
|}
  
== Операции ==
+
==Свойства некоторых производящих функций Дирихле== <!-------xz как назвать, потом придумаю)))------->
 
 
=== Умножение ===
 
 
 
Если <tex>A(s)</tex> и <tex>B(s)</tex> — производящие функции Дирихле двух последовательностей <tex>\{a_n\}_{n=1}^\infty</tex> и <tex>\{b_n\}_{n=1}^\infty</tex> соответственно, то <tex>A(s)B(s) = \dfrac{a_1b_1}{1^s} + \dfrac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \dfrac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \dfrac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} \dfrac{\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}}{n^s}</tex>, где внутренние суммирование ведется по всем разложением числа <tex>n</tex> в произведение двух сомножителей. Таким образом, использование производящих функций Дирихле позволяет контролировать мультипликативную структуру натуральных чисел.
 
=== Сложение ===
 
 
 
Сложение производящих функций соответствует обычному почленному сложению последовательностей.
 
 
 
=== Единица ===
 
 
 
Роль единицы при умножении производящих функций Дирихле играет функция <tex>1 = 1 ^ {-s}</tex>.
 
 
 
=== Обратимость ===
 
 
 
Любая производящая функция Дирихле <tex>A(s)</tex> с ненулевым свободным членом, <tex>a_1 \neq 0</tex>, обратима: для нее существует функция <tex>B(s)</tex>, такая что <tex>A(s)B(s) = 1</tex>.
 
 
 
Действительно, по правилу перемножения функций имеем <tex>A(s)B(s) = \dfrac{a_1b_1}{1^s} + \dfrac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \dfrac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \dfrac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} \dfrac{\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}}{n^s}</tex>, что в нашем случае равно <tex>1 = 1 ^ {-s}</tex>. Получаем, что <tex>a_1b_1 = 1</tex>, тогда <tex>b_1 = \dfrac{1}{a_1}</tex>. Остальные слагаемые равны <tex>0</tex>. Рассмотрим их. Известно, что коэффициент перед <tex>\dfrac{1}{n^s}</tex> равен <tex>\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l} = {a_1b_n} + \sum\limits_{kl=n,k\neq 1} {a_kb_l}</tex>. Отсюда <tex>{b_n} = -\dfrac{\sum\limits_{kl=n,k\neq 1} {a_kb_l}}{a_1}</tex>.
 
 
 
<!----
 
 
 
Attention!
 
Можно привести доказательство теоремы об обратной функции для дзета-функции Римана <!---лол, это была не я. (МК)//узковат кругозор у Вас, мужик, неприятненько было убирать за Вами :с --->
 
 
 
==Свойства производящих функций Дирихле== <!-------xz как назвать, потом придумаю)))------->
 
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 102: Строка 106:
  
 
<tex>\mu_n = \begin{cases}
 
<tex>\mu_n = \begin{cases}
(-1)^{t_n} \\
+
(-1)^{t_n} & \text{где } t_n \text{ равно количеству простых делителей числа } n \text{, если в разложении этого числа они не повторяются} \\
0
+
0 & \text{иначе}
 
\end{cases}</tex> <!------ !!! how to make po-russki ??? ----->
 
\end{cases}</tex> <!------ !!! how to make po-russki ??? ----->
  
 
|proof =  
 
|proof =  
 
Перемножим функции <tex>M(s)</tex> и <tex>\zeta(s)</tex> и рассмотрим коэффициент при <tex>n^{-s}</tex>. Назовём его <tex>f_n</tex>. Тогда
 
Перемножим функции <tex>M(s)</tex> и <tex>\zeta(s)</tex> и рассмотрим коэффициент при <tex>n^{-s}</tex>. Назовём его <tex>f_n</tex>. Тогда
<tex>f_n = \sum\limits_{k=0}^{t_n}(-1)^{k}\cdot\dbinom{t_n}{k}</tex>.
+
<tex>f_n = \sum\limits_{k=0}^{t_n}(-1)^{k}\dbinom{t_n}{k}</tex>.
Действительно, пусть разложение n на простые множители имеет вид <tex>n = p^{k_1}_1\cdot\ldots\cdot p^{k_{t_n}}_{t_n}</tex>. Тогда коэффициент при <tex>m^{−s}</tex> функции <tex>M(s)</tex> участвует в произведении с ненулевым коэффициентом в том и только в том случае, если <tex>m</tex>является произведением некоторого подмножества множества простых чисел <tex>n = p_1\ldots p_{t_n}</tex>. Число таких подмножеств из <tex>k</tex> элементов равно <tex>\dbinom{t_n}{k}</tex>, а знак соответствующего коэффициента при <tex>m^{−s}</tex> равен <tex>(-1)^{k}</tex>.
+
Действительно, пусть [[Разложение на множители (факторизация)|разложение <tex>n</tex> на простые множители]] имеет вид <tex>n = p^{k_1}_1\ldots p^{k_{t_n}}_{t_n}</tex>. Тогда коэффициент при <tex>m^{−s}</tex> функции <tex>M(s)</tex> участвует в произведении с ненулевым коэффициентом в том и только в том случае, если <tex>m</tex> является произведением некоторого подмножества множества простых чисел <tex>n = p_1\ldots p_{t_n}</tex>. Число таких подмножеств из <tex>k</tex> элементов равно <tex>\dbinom{t_n}{k}</tex>, а знак соответствующего коэффициента при <tex>m^{−s}</tex> равен <tex>(-1)^{k}</tex>.
 +
 
 +
}}
 +
{{Теорема
 +
|statement = Пусть <tex>f_n,g_n</tex> такие, что <tex>f_n = \sum\limits_{n\vdots k} g_k</tex>. Тогда <tex>g_n = \sum\limits_{n\vdots k} \mu_k f_k</tex>.
 +
|proof = Равенство <tex>f_n = \sum\limits_{n\vdots k} g_k</tex> означает, что <tex>F(s) = \zeta(s)G(s)</tex>, где <tex>F(s),G(s)</tex> {{---}} производящие функции Дирихле для последовательностей <tex>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</tex> и <tex>\{g_n\}_{n=1}^{\infty}</tex> соответственно. Домножим левую и правую части на <tex>M(s)</tex>. Получаем <tex>M(s)F(s) = M(s)\zeta(s)G(s)</tex>, а правая часть равна <tex>G(s)</tex>, так как <tex>M(s)</tex> и <tex>\zeta(s)</tex> сокращаются по предыдущей теореме.
  
 
}}
 
}}
Строка 115: Строка 124:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=<tex>\zeta(s) = \prod\limits_{p} \dfrac{1}{1 - p^{-s}}</tex>, где <tex>p</tex> принимает все простые значения.
 
|statement=<tex>\zeta(s) = \prod\limits_{p} \dfrac{1}{1 - p^{-s}}</tex>, где <tex>p</tex> принимает все простые значения.
 +
|proof = Данное равенство верно, если <tex>M(s) = \prod\limits_{p} {(1 - p^{-s})}</tex>. Но последнее равенство доказывается раскрытием скобок. В результирующей последовательности будут участвовать лишь те слагаемые, для которых <tex>n</tex> представляется в виде произведения попарно различных простых множителей, а их количество определяет знак. Эта последовательность по определению является последовательностью Мёбиуса.
 
}}
 
}}
  

Текущая версия на 19:26, 4 сентября 2022

Определение:
Производящая функция Дирихле (англ. Dirichlet generating functions) последовательности [math]\{a_n\}_{n=1}^{\infty}[/math] — это формальный ряд вида:

[math]A(s)= \dfrac{a_1}{1^s} + \dfrac{a_2}{2^s} + \dfrac{a_3}{3^s} + \dots = \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}{n^s}[/math],


Примечание

  • Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций.
  • Вместо переменной [math]x[/math] используется [math]s[/math]. Это изменение связано больше с традициями, чем с математикой.
  • Принято писать [math] \dfrac{a_n}{n^s} [/math] вместо [math] {a_n}{n^{-s}} [/math]. Это считается более удобной формой.

Операции над производящими функциями Дирихле

Сложение

Сложение производящих функций соответствует обычному почленному сложению последовательностей.

Умножение

Если [math]A(s)[/math] и [math]B(s)[/math] — производящие функции Дирихле двух последовательностей [math]\{a_n\}_{n=1}^\infty[/math] и [math]\{b_n\}_{n=1}^\infty[/math] соответственно, то [math]A(s)B(s) = \dfrac{a_1b_1}{1^s} + \dfrac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \dfrac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \dfrac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} n^{-s}\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}[/math], где внутреннее суммирование ведётся по всем разложениям числа [math]n[/math] в произведение двух сомножителей.

Единица

Роль единицы при умножении производящих функций Дирихле играет функция [math]1 = 1 ^ {-s}[/math].

Обратимость

Любая производящая функция Дирихле [math]A(s)[/math] с ненулевым свободным членом ([math]a_1 \neq 0[/math]) обратима, то есть для неё существует функция [math]B(s)[/math], такая что [math]A(s)B(s) = 1[/math].

Действительно, по правилу перемножения функций имеем [math]A(s)B(s) = \dfrac{a_1b_1}{1^s} + \dfrac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \dfrac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \dfrac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} n^{-s}\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}[/math], что в нашем случае равно [math]1 = 1 ^ {-s}[/math]. Получаем, что [math]a_1b_1 = 1[/math], тогда [math]b_1 = \dfrac{1}{a_1}[/math]. Остальные слагаемые равны [math]0[/math]. Рассмотрим их. Известно, что коэффициент перед [math]\dfrac{1}{n^s}[/math] равен [math]\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l} = {a_1b_n} + \sum\limits_{kl=n,k\neq 1} {a_kb_l}[/math]. Отсюда [math]{b_n} = -\dfrac{\sum\limits_{kl=n,k\neq 1} {a_kb_l}}{a_1}[/math] для всех [math]n\gt 1[/math].


Применение

Производящие функции Дирихле используются в мультипликативной теории чисел. Введение производящей функции Дирихле обусловлено их поведением относительно умножения, что позволяет контролировать мультипликативную структуру натуральных чисел[1].


Определение:
Мультипликативная последовательность (multiplicative sequence) — последовательность [math] \{a_n\}_{n=1}^{\infty} [/math], такая что [math]a_{mn} = a_m a_n[/math] для любых чисел [math]m[/math] и [math]n[/math].

Заметим, что для мультипликативных последовательностей [math]a_1=1[/math]. Иначе равенство [math]a_{mn} = a_m a_n[/math] при [math]m=1[/math] не выполнено, если [math]a_1\neq 0[/math] либо превращается в нулевую последовательность, если [math]a_1=0[/math].

Утверждение:
Последовательность [math] \{a_n\}_{n=1}^{\infty} [/math] является мультипликативной тогда и только тогда, когда соответствующая ей производящая функция Дирихле имеет вид [math]A(s)= \prod\limits_p\bigg(1 + \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_p}{p^{ns}}\bigg)[/math], где [math]p[/math] принимает все простые значения.

Примеры

Самой известной среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана.

Определение:
Дзета-функция Римана (англ. The Riemann zeta function) — производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности [math] \{a_n\}_{n=1}^{\infty} [/math], состоящей из единиц:

[math]\zeta (s)={\dfrac {1}{1^{s}}}+{\dfrac {1}{2^{s}}}+{\dfrac {1}{3^{s}}}+\ldots ,[/math]


Таблица содержит известные производящие функции. Первая из них — это дзета-функция Римана, состоящая из единиц. [math][\zeta(s)]^2[/math] является последовательностью количества делителей числа[2]. [math]\mu(n)[/math] — последовательность Мёбиуса [3]. [math]H(n)[/math] — последовательность факторизаций числа, [math]\phi(n)[/math]функция Эйлера.

[math]f(s)[/math] Последовательность [math]{a_n}[/math]
[math]\zeta(s)[/math] [math]1[/math] [math]1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots[/math]
[math]1/\zeta(s)[/math] [math]\mu(n)[/math] [math]1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, \dots[/math]
[math][\zeta(s)]^2[/math] [math]d(n)[/math] [math]1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, \dots[/math]
[math]\dfrac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}[/math] [math]\phi(n)[/math] [math]1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, \dots[/math]
[math]\dfrac{1}{[2-\zeta(s)]}[/math] [math]H(n)[/math] [math]1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, \dots[/math]

Свойства некоторых производящих функций Дирихле

Теорема:
Функция Мёбиуса имеет вид:

[math]M(s) = \dfrac{1}{\zeta(s)} = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{\mu_n}{n^s}[/math], где

[math]\mu_n = \begin{cases} (-1)^{t_n} & \text{где } t_n \text{ равно количеству простых делителей числа } n \text{, если в разложении этого числа они не повторяются} \\ 0 & \text{иначе} \end{cases}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Перемножим функции [math]M(s)[/math] и [math]\zeta(s)[/math] и рассмотрим коэффициент при [math]n^{-s}[/math]. Назовём его [math]f_n[/math]. Тогда [math]f_n = \sum\limits_{k=0}^{t_n}(-1)^{k}\dbinom{t_n}{k}[/math].

Действительно, пусть разложение [math]n[/math] на простые множители имеет вид [math]n = p^{k_1}_1\ldots p^{k_{t_n}}_{t_n}[/math]. Тогда коэффициент при [math]m^{−s}[/math] функции [math]M(s)[/math] участвует в произведении с ненулевым коэффициентом в том и только в том случае, если [math]m[/math] является произведением некоторого подмножества множества простых чисел [math]n = p_1\ldots p_{t_n}[/math]. Число таких подмножеств из [math]k[/math] элементов равно [math]\dbinom{t_n}{k}[/math], а знак соответствующего коэффициента при [math]m^{−s}[/math] равен [math](-1)^{k}[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть [math]f_n,g_n[/math] такие, что [math]f_n = \sum\limits_{n\vdots k} g_k[/math]. Тогда [math]g_n = \sum\limits_{n\vdots k} \mu_k f_k[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Равенство [math]f_n = \sum\limits_{n\vdots k} g_k[/math] означает, что [math]F(s) = \zeta(s)G(s)[/math], где [math]F(s),G(s)[/math] — производящие функции Дирихле для последовательностей [math]\{f_n\}_{n=1}^{\infty}[/math] и [math]\{g_n\}_{n=1}^{\infty}[/math] соответственно. Домножим левую и правую части на [math]M(s)[/math]. Получаем [math]M(s)F(s) = M(s)\zeta(s)G(s)[/math], а правая часть равна [math]G(s)[/math], так как [math]M(s)[/math] и [math]\zeta(s)[/math] сокращаются по предыдущей теореме.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
[math]\zeta(s) = \prod\limits_{p} \dfrac{1}{1 - p^{-s}}[/math], где [math]p[/math] принимает все простые значения.
[math]\triangleright[/math]
Данное равенство верно, если [math]M(s) = \prod\limits_{p} {(1 - p^{-s})}[/math]. Но последнее равенство доказывается раскрытием скобок. В результирующей последовательности будут участвовать лишь те слагаемые, для которых [math]n[/math] представляется в виде произведения попарно различных простых множителей, а их количество определяет знак. Эта последовательность по определению является последовательностью Мёбиуса.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Примечания

Источники информации