Производящая функция Дирихле

Материал из Викиконспекты
Версия от 20:21, 17 апреля 2018; I am dark black (обсуждение | вклад) (Умножение)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Производящая функция Дирихле (англ. Dirichlet generating functions) последовательности [math]\{a_n\}_{n=1}^{\infty}[/math] — это формальный ряд вида:

[math]A(s)= \dfrac{a_1}{1^s} + \dfrac{a_2}{2^s} + \dfrac{a_3}{3^s} + \dots = \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}{n^s}[/math],


Примечание[править]

  • Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций.
  • Вместо переменной [math]x[/math] используется [math]s[/math]. Это изменение связано больше с традициями, чем с математикой.
  • Принято писать [math] \dfrac{a_n}{n^s} [/math] вместо [math] {a_n}{n^{-s}} [/math]. Это считается более удобной формой.

Операции над производящими функциями Дирихле[править]

Сложение[править]

Сложение производящих функций соответствует обычному почленному сложению последовательностей.

Умножение[править]

Если [math]A(s)[/math] и [math]B(s)[/math] — производящие функции Дирихле двух последовательностей [math]\{a_n\}_{n=1}^\infty[/math] и [math]\{b_n\}_{n=1}^\infty[/math] соответственно, то [math]A(s)B(s) = \dfrac{a_1b_1}{1^s} + \dfrac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \dfrac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \dfrac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} n^{-s}\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}[/math], где внутреннее суммирование ведётся по всем разложениям числа [math]n[/math] в произведение двух сомножителей.

Единица[править]

Роль единицы при умножении производящих функций Дирихле играет функция [math]1 = 1 ^ {-s}[/math].

Обратимость[править]

Любая производящая функция Дирихле [math]A(s)[/math] с ненулевым свободным членом ([math]a_1 \neq 0[/math]) обратима, то есть для неё существует функция [math]B(s)[/math], такая что [math]A(s)B(s) = 1[/math].

Действительно, по правилу перемножения функций имеем [math]A(s)B(s) = \dfrac{a_1b_1}{1^s} + \dfrac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \dfrac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \dfrac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} n^{-s}\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}[/math], что в нашем случае равно [math]1 = 1 ^ {-s}[/math]. Получаем, что [math]a_1b_1 = 1[/math], тогда [math]b_1 = \dfrac{1}{a_1}[/math]. Остальные слагаемые равны [math]0[/math]. Рассмотрим их. Известно, что коэффициент перед [math]\dfrac{1}{n^s}[/math] равен [math]\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l} = {a_1b_n} + \sum\limits_{kl=n,k\neq 1} {a_kb_l}[/math]. Отсюда [math]{b_n} = -\dfrac{\sum\limits_{kl=n,k\neq 1} {a_kb_l}}{a_1}[/math] для всех [math]n\gt 1[/math].


Применение[править]

Производящие функции Дирихле используются в мультипликативной теории чисел. Введение производящей функции Дирихле обусловлено их поведением относительно умножения, что позволяет контролировать мультипликативную структуру натуральных чисел[1].


Определение:
Мультипликативная последовательность (multiplicative sequence) — последовательность [math] \{a_n\}_{n=1}^{\infty} [/math], такая что [math]a_{mn} = a_m a_n[/math] для любых чисел [math]m[/math] и [math]n[/math].

Заметим, что для мультипликативных последовательностей [math]a_1=1[/math]. Иначе равенство [math]a_{mn} = a_m a_n[/math] при [math]m=1[/math] не выполнено, если [math]a_1\neq 0[/math] либо превращается в нулевую последовательность, если [math]a_1=0[/math].

Утверждение:
Последовательность [math] \{a_n\}_{n=1}^{\infty} [/math] является мультипликативной тогда и только тогда, когда соответствующая ей производящая функция Дирихле имеет вид [math]A(s)= \prod\limits_p\bigg(1 + \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_p}{p^ns}\bigg)[/math], где [math]p[/math] принимает все простые значения.

Примеры[править]

Самой известной среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана.

Определение:
Дзета-функция Римана (англ. The Riemann zeta function) — производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности [math] \{a_n\}_{n=1}^{\infty} [/math], состоящей из единиц:

[math]\zeta (s)={\dfrac {1}{1^{s}}}+{\dfrac {1}{2^{s}}}+{\dfrac {1}{3^{s}}}+\ldots ,[/math]


Таблица содержит известные производящие функции. Первая из них — это дзета-функция Римана, состоящая из единиц. [math][\zeta(s)]^2[/math] является последовательностью количества делителей числа[2]. [math]\mu(n)[/math] — последовательность Мёбиуса [3]. [math]H(n)[/math] — последовательность факторизаций числа, [math]\phi(n)[/math]функция Эйлера.

[math]f(s)[/math] Последовательность [math]{a_n}[/math]
[math]\zeta(s)[/math] [math]1[/math] [math]1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots[/math]
[math]1/\zeta(s)[/math] [math]\mu(n)[/math] [math]1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, \dots[/math]
[math][\zeta(s)]^2[/math] [math]d(n)[/math] [math]1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, \dots[/math]
[math]\dfrac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}[/math] [math]\phi(n)[/math] [math]1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, \dots[/math]
[math]\dfrac{1}{[2-\zeta(s)]}[/math] [math]H(n)[/math] [math]1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, \dots[/math]

Свойства некоторых производящих функций Дирихле[править]

Теорема:
Функция Мёбиуса имеет вид:

[math]M(s) = \dfrac{1}{\zeta(s)} = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{\mu_n}{n^s}[/math], где

[math]\mu_n = \begin{cases} (-1)^{t_n} & \text{где } t_n \text{ равно количеству простых делителей числа } n \text{, если в разложении этого числа они не повторяются} \\ 0 & \text{иначе} \end{cases}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Перемножим функции [math]M(s)[/math] и [math]\zeta(s)[/math] и рассмотрим коэффициент при [math]n^{-s}[/math]. Назовём его [math]f_n[/math]. Тогда [math]f_n = \sum\limits_{k=0}^{t_n}(-1)^{k}\dbinom{t_n}{k}[/math].

Действительно, пусть разложение [math]n[/math] на простые множители имеет вид [math]n = p^{k_1}_1\ldots p^{k_{t_n}}_{t_n}[/math]. Тогда коэффициент при [math]m^{−s}[/math] функции [math]M(s)[/math] участвует в произведении с ненулевым коэффициентом в том и только в том случае, если [math]m[/math] является произведением некоторого подмножества множества простых чисел [math]n = p_1\ldots p_{t_n}[/math]. Число таких подмножеств из [math]k[/math] элементов равно [math]\dbinom{t_n}{k}[/math], а знак соответствующего коэффициента при [math]m^{−s}[/math] равен [math](-1)^{k}[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть [math]f_n,g_n[/math] такие, что [math]f_n = \sum\limits_{n\vdots k} g_k[/math]. Тогда [math]g_n = \sum\limits_{n\vdots k} \mu_k f_k[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Равенство [math]f_n = \sum\limits_{n\vdots k} g_k[/math] означает, что [math]F(s) = \zeta(s)G(s)[/math], где [math]F(s),G(s)[/math] — производящие функции Дирихле для последовательностей [math]\{f_n\}_{n=1}^{\infty}[/math] и [math]\{g_n\}_{n=1}^{\infty}[/math] соответственно. Домножим левую и правую части на [math]M(s)[/math]. Получаем [math]M(s)F(s) = M(s)\zeta(s)G(s)[/math], а правая часть равна [math]G(s)[/math], так как [math]M(s)[/math] и [math]\zeta(s)[/math] сокращаются по предыдущей теореме.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
[math]\zeta(s) = \prod\limits_{p} \dfrac{1}{1 - p^{-s}}[/math], где [math]p[/math] принимает все простые значения.
[math]\triangleright[/math]
Данное равенство верно, если [math]M(s) = \prod\limits_{p} {(1 - p^{-s})}[/math]. Но последнее равенство доказывается раскрытием скобок. В результирующей последовательности будут участвовать лишь те слагаемые, для которых [math]n[/math] представляется в виде произведения попарно различных простых множителей, а их количество определяет знак. Эта последовательность по определению является последовательностью Мёбиуса.
[math]\triangleleft[/math]

См. также[править]

Примечания[править]

Источники информации[править]