Редактирование: Производящие функции нескольких переменных

{{Определение
|definition=
'''Производящие функции нескольких переменных''' (англ. ''multivariable generating function'') {{---}} обычные [[Производящая функция | производящие функции]], зависящие более, чем от одной переменной. Очень часто применяются функции от двух переменных (далее они и будут рассматриваться), которые в общем случае принимают вид:

<tex>G(x, y) = \sum\limits_{n, k \geqslant 0} g_{n, k} x^n y^k</tex>.
}}

Рассмотрим несколько примеров : 

== Треугольник Паскаля ==

{{Определение
|definition=
'''Треугольник Паскаля''' (англ. ''Pascal's triangle'') {{---}} бесконечная таблица биномиальных коэффициентов<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82 Биномиальные коэффициенты]</ref>, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел.
}}

[[File:Pascal_triangle.png|thumb|400px|right|Рис.<tex>1</tex>]]

Элементы треугольника (рис.<tex>1</tex>) перечисляют пути, идущие из его вершины в соответствующую клетку. Пути имеют вид ломаных, составленных из векторов единичной длины двух видов: идущих вправо-вниз и идущих влево-вниз.

Производящая функция может быть сопоставлена треугольнику Паскаля несколькими способами. Например, можно рассмотреть производящую функцию 

<tex>\sum\limits_{n,k = 0}^{\infty} c_{n,k} x^k y^n = \sum\limits_{n,k = 0}^{\infty} \binom{n}{k} x^k y^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}\Big(\sum\limits_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} x^k\Big) y^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (1 + x)^n y^n  = \dfrac{1}{1 - y - xy}</tex>

[[File:Pascal_triangle_3.png|thumb|385px|right|Рис.<tex>2</tex>]]

Второй способ соответствует нумерации элементов треугольника числом отрезков каждого типа на путях, ведущих в соответствующую точку (рис.<tex>2</tex>) <tex>C_{n,m} = c_{n+m, n} = \dbinom{n+m}{m}</tex>. Тогда производящая функция будет иметь вид 

<tex>\sum\limits_{n,m = 0}^{\infty} C_{n, m} x^n y^m = \sum\limits_{n,m = 0}^{\infty} \binom{n+m}{m} x^n y^m = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \sum\limits_{n + m = k}  \binom{n+m}{n}
x^n y^m = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (x + y)^k = \dfrac{1}{1 -x - y}</tex>

Также существует еще один способ: сопоставить треугольнику Паскаля ''экспоненциальную производящую функцию''. Экспоненциальная производящая функция отличается от обычной тем, что в качестве коэффициентов степенного ряда берутся не элементы последовательности <tex>a_n</tex>, а числа <tex>\dfrac{a_n}{n!}</tex>.

==Экспоненциальные производящие функции==

Зафиксируем произвольную последовательность <tex>\{ \alpha_n \}</tex>. Каждой последовательности <tex>\{ \alpha_n \}</tex> мы можем сопоставить производящую функцию 

<tex>\{ \alpha_n \} \mapsto \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n \alpha_n s^n</tex> 

определяемую последовательностью <tex>\{ \alpha_n \}</tex>. Если в последовательности <tex>\{ \alpha_n \}</tex> отсутствуют нулевые элементы, то такое сопоставление взаимно однозначно. До сих пор мы пользовались обычными производящими функциями, отвечающими последовательности <tex>\{ \alpha_n \} \equiv 1</tex>. В зависимости от преследуемых целей могут принести и другие последовательности. 

{{Определение 
|definition=
'''Производящие экспоненциальные функции''' (англ. ''exponential generating function'') {{---}} функции, соответствующие последовательности <tex>\{ \alpha_n \} = \dfrac{1}{n!}</tex>.
}}

{{Определение 
|definition=
Экспоненциальные производящие функции для целочисленных последовательностей называют '''функциями Гурвица''' (англ. ''Hurwitz function'').
}}

Чем отличаются экспоненциальные производящие функции от обычных? Посмотрим на поведение экспоненциальных производящих функций при выполнении операции над ними. Сумма ведет себя обычным образом:

<tex>\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{a_n}{n!}s^n + \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{b_n}{n!}s^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{(a_n + b_n)}{n!} s^n</tex>

а с произведением по-другому:

<tex>\bigg(\dfrac{a_0}{0!} + \dfrac{a_1}{1!}s + \dfrac{a_2}{2!}s^2 + \ldots\bigg)\bigg(\dfrac{b_0}{0!} + \dfrac{b_1}{1!}s + \dfrac{b_2}{2!}s^2 + \ldots\bigg) = \dfrac{a_0}{0!} \dfrac{b_0}{0!} + \bigg(\dfrac{a_0}{0!} \dfrac{b_1}{1!} + \dfrac{a_1}{1!} \dfrac{b_0}{0!}\bigg)s + \bigg(\dfrac{a_0}{0!} \dfrac{b_2}{2!} + \dfrac{a_1}{1!} \dfrac{b_1}{1!} + \dfrac{a_2}{2!} \dfrac{b_0}{0!}\bigg)s^2 + \ldots</tex>

Коэффициенты <tex>\dfrac{c_n}{n!}</tex> произведения вычисляются по формуле 

<tex>c_n = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} a_0 b_n + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} a_1 b_{n - 1} + \ldots + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} a_n b_0</tex>

Еще одно существенное отличие экспоненциальных производящих функций от обычных наблюдается при взятии производных и при интегрировании. Дифференцирование или интегрирование экспоненциальной производящей функции приводит к сдвигу последовательности ее коэффициентов без изменения их величины: 

<tex>\bigg( \dfrac{a_0}{0!} + \dfrac{a_1}{1!}s + \dfrac{a_2}{2!}s^2 + \ldots \bigg)^{'} = \dfrac{a_1}{0!} + \dfrac{a_2}{1!}s + \dfrac{a_3}{2!}s^2 + \ldots </tex>

<tex>\displaystyle\int \bigg(\dfrac{a_0}{0!} + \dfrac{a_1}{1!}s + \dfrac{a_2}{2!}s^2 + \ldots \bigg) = \dfrac{a_0}{1!}s + \dfrac{a_1}{2!}s^2 + \dfrac{a_2}{3!}s^3 + \dfrac{a_3}{4!}s^4 + \ldots </tex>

Обычная производящая функция <tex>A(s) = a_0 + a_1s + a_2s^2 + \ldots</tex> выражается через экспоненциальную <tex>B(t) = \dfrac{a_0}{0!} + \dfrac{a_1}{1!}t + \dfrac{a_2}{2!}t^2 + \ldots </tex> по формуле 

<tex>A(s) = \int\limits_{0}^{\infty} e^{-t} B(st) dt</tex>

Действительно, 

<tex>k! = \int\limits_{0}^{\infty} e^{-t}t^kdt</tex>

Теперь можно выписать экспоненциальную производящую функцию для треугольника Паскаля:

<tex>\displaystyle\sum\limits_{n, m = 0}^{\infty} \dfrac{1}{(n + m)!} \dbinom{n+m}{m} x^n y^m = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{(x + y)^n}{n!} = e^{x + y}</tex>

==Многочлены Бернулли==
Для начала введём операцию ''усреднения'', положив

<tex>A(f(x)) = \int\limits_{x}^{x+1}f(t)dt</tex>.

Нетрудно заметить, что эта операция переводит многочлены в многочлены: она линейна, т.е. <tex>A(a_1f_1 + a_2f_2) = a_1A(f_1) + a_2A(f_2)</tex> для любых постоянных <tex>a_1, a_2</tex> и любых многочленов <tex>f_1,
 f_2</tex>, а ее значение на мономе<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD Моном]</ref> <tex>x^n</tex> равно

<tex>A(x^n) = ((x + 1)^{n+1} - x^{n+1}) / (n+1) = x^n + \ldots</tex>,

где многоточие обозначает слагаемые, степени которых меньше <tex>n</tex>. Последняя формула показывает также, что преобразование <tex>A</tex> переводит пространство многочленов степени не выше <tex>n</tex> в себя, а значит, является линейным оператором в этом пространстве. Этот оператор обратим. Действительно, любой многочлен степени не выше <tex>n-1</tex> может быть получен в результате усреднения многочлена такой же степени, и, используя последнюю формулу, мы заключаем, что и любой многочлен степени не выше <tex>n</tex> является результатом усреднения некоторого многочлена степени не выше <tex>n</tex>. Отметим, что при усреднении степень многочлена сохраняется.

{{Определение 
|definition=
'''Многочленом Бернулли''' (англ. ''Bernoulli polynomial'') степени <tex>n</tex> называется многочлен <tex>B_n(x)</tex>, результатом усреднения которого служит моном <tex>x^n</tex>, т.е. <tex>B_n(x) = A^{-1}(x^n)</tex>.
}}

Первые многочлены Бернулли нетрудно сосчитать:

<tex>B_0(x) = 1</tex>

<tex>B_1(x) = x - \dfrac{1}{2}</tex>

<tex>B_2(x) = x^2 -x + \dfrac{1}{6}</tex>

<tex>B_3(x) = x^3 - \dfrac{3}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}x</tex>

<tex>B_4(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - \dfrac{1}{30}</tex>

<tex>B_5(x) = x^5 - \dfrac{5}{2}x^4 + \dfrac{5}{3}x^3 - \dfrac{1}{6}x</tex>

<tex>B_6(x) = x^6 - 3x^5 + \dfrac{5}{2}x^4 - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{42}</tex>

{{Теорема
| about = Экспоненциальная производящая функция для многочленов Бернулли
| statement = 
Экспоненциальная производящая функция для многочленов Бернулли имеет вид:

<tex>\mathcal{B}(x, s) = \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}B_n(x)\dfrac{s^n}{n!} = \dfrac{s}{e^s - 1}e^{sx}</tex>.
| proof = 
Для доказательства теоремы достаточно применить операцию усреднения к левой и правой частям равенства. С одной стороны, мы имеем:

<tex>A(B(x, s)) = \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}A(B_n(x))\dfrac{s^n}{n!} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n\dfrac{s^n}{n!} = e^{xs}</tex>.

С другой стороны, имеем:

<tex>A(\dfrac{s}{e^s - 1}e^{sx}) = \dfrac{s}{e^s-1}A(e^{sx}) = \dfrac{s}{e^s-1}\dfrac{1}{s}(e^{s(x+1)} - e^{sx}) = e^{sx}</tex>,

и теорема доказана.
}}

Определим теперь ''числа Бернулли''<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8 числа Бернулли]</ref> как значения многочленов Бернулли в нуле. Вот начало последовательности чисел Бернулли:

<tex>1, -\dfrac{1}{2}, 0, \dfrac{1}{6}, -\dfrac{1}{30}, \dfrac{1}{42}, 0, -\dfrac{1}{30}, \dfrac{5}{66}, 0, -\dfrac{691}{2730}, 0, \ldots </tex>

Доказанная теорема позволяет нам легко выписать экспоненциальную производящую функцию для чисел Бернулли. Для этого достаточно подставить в экспоненциальную производящую функцию для многочленов Бернулли значение <tex>x = 0</tex>:

<tex>\displaystyle\sum\limits_{n=0} B_n\dfrac{s^n}{n!} = \dfrac{s}{e^s - 1}</tex>.

==См. также==
*[[Производящая функция]]

==Примечания==
<references/>

==Источники информации==
* ''Ландо С. К.'', Лекции о производящих функциях. {{---}} 3-е изд., испр. {{---}} М.: МЦНМО, 2007. {{---}} 57с. ISBN 978-5-94057-042-4

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Производящая функция]]