Редактирование: Производящие функции нескольких переменных

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 25: Строка 25:
 
[[File:Pascal_triangle_3.png|thumb|320px|right|Рис.<tex>2</tex>]]
 
[[File:Pascal_triangle_3.png|thumb|320px|right|Рис.<tex>2</tex>]]
  
Второй способ соответствует нумерации элементов треугольника числом отрезков каждого типа на путях, ведущих в соответствующую точку (рис.<tex>2</tex>) <tex>C_{n,m} = c_{n+m, n} = \dbinom{n+m}{m}</tex>. Тогда производящая функция будет иметь вид  
+
Второй способ соответствует нумерации элементов треугольника числом отрезков каждого типа на путях, ведущих в соответствующую точку (рис.<tex>2</tex>) <tex>C_{n,m} = c_{n+m, n} = \binom{n+m}{m}</tex>. Тогда производящая функция будет иметь вид  
  
 
<tex>\displaystyle\sum\limits_{n,m = 0}^{\infty} C_{n, m} x^n y^m = \sum\limits_{n,m = 0}^{\infty} \binom{n+m}{m} x^n y^m = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}</tex><tex> \Big(\sum\limits_{n + m = k}  \binom{n+m}{n}
 
<tex>\displaystyle\sum\limits_{n,m = 0}^{\infty} C_{n, m} x^n y^m = \sum\limits_{n,m = 0}^{\infty} \binom{n+m}{m} x^n y^m = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}</tex><tex> \Big(\sum\limits_{n + m = k}  \binom{n+m}{n}
Строка 42: Строка 42:
 
{{Определение  
 
{{Определение  
 
|definition=
 
|definition=
'''Производящие экспоненциальные функции''' (англ. ''exponential generating function'') {{---}} функции, соответствующие последовательности <tex>\{ \alpha_n \} = \dfrac{1}{n!}</tex>.
+
'''Производящие экспоненциальные функции''' (англ. ''exponential generating function'') {{---}} функции, соответсвующие последовательности <tex>\{ \alpha_n \} = \dfrac{1}{n!}</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 52: Строка 52:
 
Чем отличаются экспоненциальные производящие функции от обычных? Посмотрим на поведение экспоненциальных производящих функций при выполнении операции над ними. Сумма ведет себя обычным образом:
 
Чем отличаются экспоненциальные производящие функции от обычных? Посмотрим на поведение экспоненциальных производящих функций при выполнении операции над ними. Сумма ведет себя обычным образом:
  
<tex>\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{a_n}{n!}s^n + \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{b_n}{n!}s^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{(a_n + b_n)}{n!} s^n</tex>
+
<tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{a_n}{n!}s^n + \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{b_n}{n!}s^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{(a_n + b_n)}{n!} s^n</tex>
  
 
а с произведением по-другому:
 
а с произведением по-другому:
Строка 78: Строка 78:
 
Теперь можно выписать экспоненциальную производящую функцию для треугольника Паскаля:
 
Теперь можно выписать экспоненциальную производящую функцию для треугольника Паскаля:
  
<tex>\displaystyle\sum\limits_{n, m = 0}^{\infty} \dfrac{1}{(n + m)!} \dbinom{n+m}{m} x^n y^m = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{(x + y)^n}{n!} = e^{x + y}</tex>
+
<tex>\sum\limits_{n, m = 0}^{\infty} \dfrac{1}{(n + m)!} \begin{pmatrix} n + m \\ m \end{pmatrix} x^n y^m = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{(x + y)^n}{n!} = e^{x + y}</tex>
  
 
==Многочлены Бернулли==
 
==Многочлены Бернулли==
Для начала введём операцию ''усреднения'', положив
+
Для начала введен операцию ''усреднения'', положив
  
 
<tex>A(f(x)) = \int\limits_{x}^{x+1}f(t)dt</tex>.
 
<tex>A(f(x)) = \int\limits_{x}^{x+1}f(t)dt</tex>.
Строка 118: Строка 118:
 
Экспоненциальная производящая функция для многочленов Бернулли имеет вид:
 
Экспоненциальная производящая функция для многочленов Бернулли имеет вид:
  
<tex>\mathcal{B}(x, s) = \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}B_n(x)\dfrac{s^n}{n!} = \dfrac{s}{e^s - 1}e^{sx}</tex>.
+
<tex>\mathcal{B}(x, s) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}B_n(x)\dfrac{s^n}{n!} = \dfrac{s}{e^s - 1}e^{sx}</tex>.
 
| proof =  
 
| proof =  
 
Для доказательства теоремы достаточно применить операцию усреднения к левой и правой частям равенства. С одной стороны, мы имеем:
 
Для доказательства теоремы достаточно применить операцию усреднения к левой и правой частям равенства. С одной стороны, мы имеем:
  
<tex>A(B(x, s)) = \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}A(B_n(x))\dfrac{s^n}{n!} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n\dfrac{s^n}{n!} = e^{xs}</tex>.
+
<tex>A(B(x, s)) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}A(B_n(x))\dfrac{s^n}{n!} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n\dfrac{s^n}{n!} = e^{xs}</tex>.
  
 
С другой стороны, имеем:
 
С другой стороны, имеем:
Строка 137: Строка 137:
 
Доказанная теорема позволяет нам легко выписать экспоненциальную производящую функцию для чисел Бернулли. Для этого достаточно подставить в экспоненциальную производящую функцию для многочленов Бернулли значение <tex>x = 0</tex>:
 
Доказанная теорема позволяет нам легко выписать экспоненциальную производящую функцию для чисел Бернулли. Для этого достаточно подставить в экспоненциальную производящую функцию для многочленов Бернулли значение <tex>x = 0</tex>:
  
<tex>\displaystyle\sum\limits_{n=0} B_n\dfrac{s^n}{n!} = \dfrac{s}{e^s - 1}</tex>.
+
<tex>\sum\limits_{n=0} B_n\dfrac{s^n}{n!} = \dfrac{s}{e^s - 1}</tex>.
  
 
==См. также==
 
==См. также==

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: