693
правки
Изменения
→Многочлены Бернулли
}}
[[File:Pascal_triangle.png|thumb|400px350px|right|Рис.<tex>1</tex>]]
Элементы треугольника (рис.<tex>1</tex>) перечисляют пути, идущие из его вершины в соответствующую клетку. Пути имеют вид ломаных, составленных из векторов единичной длины двух видов: идущих вправо-вниз и идущих влево-вниз.
Производящая функция может быть сопоставлена треугольнику Паскаля несколькими способами. Например, можно рассмотреть производящую функцию
<tex>\displaystyle\sum\limits_{n,k = 0}^{\infty} c_{n,k} x^k y^n = \sum\limits_{n,k = 0}^{\infty} \beginbinom{pmatrixn} n \\ {k \end{pmatrix} x^k y^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}</tex><tex>\Big(\sum\limits_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} x^k\Big) y^n = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{\infty} (1 + x)^n y^n = \dfrac{1}{1 - y - xy}</tex>
[[File:Pascal_triangle_3.png|thumb|590px320px|right|Рис.<tex>2</tex>]]
Второй способ соответсвует соответствует нумерации элементов треугольника числом отрезков каждого типа на путях, ведущих в соответствующую точку (рис.<tex>2</tex>) <tex>C_{n,m} = c_{n+m, n} = \dbinom{n+m}{m}</tex>. Тогда производящая функция будет иметь вид
<tex>\displaystyle\sum\limits_{n,m = 0}^{\infty} C_{n, m} x^n y^m = \sum\limits_{n,m = 0}^{\infty} \beginbinom{pmatrix} n + m \\ }{m \end{pmatrix} x^n y^m = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} </tex><tex> \Big(\sum\limits_{n + m = k} \beginbinom{pmatrix} n + m \\ }{n \end{pmatrix}x^n y^m \Big)= \displaystyle\sum\limits_{k = 0}^{\infty} (x + y)^k = \dfrac{1}{1 -x - y}</tex>
Также существует еще один способ: сопоставить треугольнику Паскаля ''экспоненциальную производящую функцию''. Экспоненциальная производящая функция отличается от обычной тем, что в качестве коэффициентов степенного ряда берутся не элементы последовательности <tex>a_n</tex>, а числа <tex>\dfrac{a_n}{n!}</tex>.
{{Определение
|definition=
'''Производящие экспоненциальные функции''' (англ. ''exponential generating function'') {{---}} функции, соответсвующие соответствующие последовательности <tex>\{ \alpha_n \} = \dfrac{1}{n!}</tex>.
}}
Чем отличаются экспоненциальные производящие функции от обычных? Посмотрим на поведение экспоненциальных производящих функций при выполнении операции над ними. Сумма ведет себя обычным образом:
<tex>\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{a_n}{n!}s^n + \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{b_n}{n!}s^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{(a_n + b_n)}{n!} s^n</tex>
а с произведением по-другому:
<tex>\bigg( \dfrac{a_0}{0!} + \dfrac{a_1}{1!}s + \dfrac{a_2}{2!}s^2 + \ldots \bigg)^{'} = \dfrac{a_1}{0!} + \dfrac{a_2}{1!}s + \dfrac{a_3}{2!}s^2 + \ldots </tex>
<tex>\displaystyle\int \bigg(\dfrac{a_0}{0!} + \dfrac{a_1}{1!}s + \dfrac{a_2}{2!}s^2 + \ldots \bigg) = \dfrac{a_0}{1!}s + \dfrac{a_1}{2!}s^2 + \dfrac{a_2}{3!}s^3 + \dfrac{a_3}{4!}s^4 + \ldots </tex>
Обычная производящая функция <tex>A(s) = a_0 + a_1s + a_2s^2 + \ldots</tex> выражается через экспоненциальную <tex>B(t) = \dfrac{a_0}{0!} + \dfrac{a_1}{1!}t + \dfrac{a_2}{2!}t^2 + \ldots </tex> по формуле
<tex>A(s) = \int_int\limits_{0}^{\infty} e^{-t} B(st) dt</tex>
Действительно,
<tex>k! = \int_int\limits_{0}^{\infty} e^{-t}t^kdt</tex>
Теперь можно выписать экспоненциальную производящую функцию для треугольника Паскаля:
<tex>\displaystyle\sum\limits_{n, m = 0}^{\infty} \dfrac{1}{(n + m)!} \begindbinom{pmatrix} n + m \\ }{m \end{pmatrix} x^n y^m = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{(x + y)^n}{n!} = e^{x + y}</tex>
==Многочлены Бернулли==
Для начала введен введём операцию ''усреднения'', положив
<tex>A(f(x)) = \int\limits_{x}^{x+1}f(t)dt</tex>.
Экспоненциальная производящая функция для многочленов Бернулли имеет вид:
<tex>\mathcal{B}(x, s) = \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}B_n(x)\dfrac{s^n}{n!} = \dfrac{s}{e^s - 1}e^{sx}</tex>.
| proof =
Для доказательства теоремы достаточно применить операцию усреднения к левой и правой частям равенства. С одной стороны, мы имеем:
<tex>A(B(x, s)) = \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}A(B_n(x))\dfrac{s^n}{n!} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n\dfrac{s^n}{n!} = e^{xs}</tex>.
С другой стороны, имеем:
Доказанная теорема позволяет нам легко выписать экспоненциальную производящую функцию для чисел Бернулли. Для этого достаточно подставить в экспоненциальную производящую функцию для многочленов Бернулли значение <tex>x = 0</tex>:
<tex>\displaystyle\sum\limits_{n=0} B_n\dfrac{s^n}{n!} = \dfrac{s}{e^s - 1}</tex>.
==См. также==
