Редактирование: Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы

{{Определение
|definition=
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из  вершины <tex>v</tex>''' (англ. ''Arbitrarily traceable graph''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>.  }}
{{Утверждение
|statement=Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]].
}}

{{Теорема
|statement=
[[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|Эйлеров граф]] <tex>G</tex>, содержащий хотя бы одно ребро является произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex> <tex>\Longleftrightarrow</tex> вершина <tex>v</tex> принадлежит всем циклам графа <tex>G</tex>.<br>
|proof=
[[Файл:ATG_part1.jpg|200px|right]]
<tex>\Rightarrow</tex> <br>
Пусть в <tex>G</tex>  <tex>\exists</tex> цикл <tex>C, v \notin C</tex>.<br>
Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). При удалении цикла все степени вершин остались четными, потому что каждая вершина содержит четное количество ребер цикла, и следовательно <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. Тогда в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти, так как из вершины <tex>v</tex> больше нет не посещенных ребер <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.
[[Файл:ATG_part2.jpg|200px|right]]
<tex>\Leftarrow</tex> <br>
Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, вершина <tex>v</tex> принадлежит всем его циклам.<br>
Рассмотрим произвольный путь <tex>P = v \leadsto w</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможны 2 случая:

# Если <tex>v = w</tex>, то <tex>P</tex> {{---}} цикл, значит степени всех вершин в <tex>G_1</tex> остались четными <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров.<br>
# Если <tex>v \neq w</tex>, то так как <tex>G</tex> эйлеров граф <tex>\exists</tex> эйлеров путь <tex>w \leadsto v \in G_1</tex>.

Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам <tex>G_1</tex>.

В <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении <tex>P</tex> их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий <tex>v</tex>(смотри рисунок). Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности содержащая ребра, причем <tex>G_1</tex>  либо полуэйлеров, либо эйлеров <tex>\Rightarrow</tex> в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлерова цепь <tex>Q = w \leadsto v</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>P+Q</tex> эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>.
}}

== Строение ==
[[Файл:ATGexample.jpg|right|300px]]
Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. <br>
Возьмем произвольный [[Дерево, эквивалентные определения|лес]] <tex>H</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с <tex>v</tex>, а каждую вершину четной степени <tex>-</tex> четным числом кратных ребер с <tex>v</tex> (не исключая <tex>0</tex>), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с <tex>v</tex>.<br>
Полученный граф <tex>G</tex>:
* связен,
* имеет только вершины четной степени,
* является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.
Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. А по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.

==См. также==
* [[Покрытие рёбер графа путями]]
* [[Алгоритм построения Эйлерова цикла]]

==Источники информации==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.'', Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. ISBN 5-93972-076-5

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]