Редактирование: Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 2: Строка 2:
 
|definition=
 
|definition=
 
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из  вершины <tex>v</tex>''' (англ. ''Arbitrarily traceable graph''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>.  }}
 
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из  вершины <tex>v</tex>''' (англ. ''Arbitrarily traceable graph''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>.  }}
{{Утверждение
+
<br>Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]].
|statement=Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]].
 
}}
 
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 11: Строка 9:
 
|proof=
 
|proof=
 
[[Файл:ATG_part1.jpg|200px|right]]
 
[[Файл:ATG_part1.jpg|200px|right]]
<tex>\Rightarrow</tex> <br>
+
<tex>\Rightarrow</tex> Пусть в <tex>G</tex>  <tex>\exists</tex> цикл <tex>C, v \notin C</tex>.<br>
Пусть в <tex>G</tex>  <tex>\exists</tex> цикл <tex>C, v \notin C</tex>.<br>
 
 
Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). При удалении цикла все степени вершин остались четными, потому что каждая вершина содержит четное количество ребер цикла, и следовательно <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. Тогда в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти, так как из вершины <tex>v</tex> больше нет не посещенных ребер <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.
 
Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). При удалении цикла все степени вершин остались четными, потому что каждая вершина содержит четное количество ребер цикла, и следовательно <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров. Тогда в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти, так как из вершины <tex>v</tex> больше нет не посещенных ребер <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.
[[Файл:ATG_part2.jpg|200px|right]]
+
[[Файл:ATG_part2.jpg|200px|left]]
<tex>\Leftarrow</tex> <br>
+
<tex>\Leftarrow</tex> Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, вершина <tex>v</tex> принадлежит всем его циклам.<br>
Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, вершина <tex>v</tex> принадлежит всем его циклам.<br>
+
Рассмотрим произвольный путь <tex>P = (v,w)</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможны 2 случая:
Рассмотрим произвольный путь <tex>P = v \leadsto w</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможны 2 случая:
 
  
# Если <tex>v = w</tex>, то <tex>P</tex> {{---}} цикл, значит степени всех вершин в <tex>G_1</tex> остались четными <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров.<br>
+
1. Если <tex>v = w</tex>, то <tex>P</tex> {{---}} цикл, значит степени всех вершин в <tex>G_1</tex> остались четными <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров.<br>
# Если <tex>v \neq w</tex>, то так как <tex>G</tex> эйлеров граф <tex>\exists</tex> эйлеров путь <tex>w \leadsto v \in G_1</tex>.
+
2. если <tex>v \neq w</tex>, то так как <tex>G</tex> эйлеров граф <tex>\exists</tex> эйлеров путь <tex>(w,v) \in G_1</tex>.
  
 
Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам <tex>G_1</tex>.
 
Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам <tex>G_1</tex>.
  
В <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении <tex>P</tex> их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий <tex>v</tex>(смотри рисунок). Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности содержащая ребра, причем <tex>G_1</tex>  либо полуэйлеров, либо эйлеров <tex>\Rightarrow</tex> в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлерова цепь <tex>Q = w \leadsto v</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>P+Q</tex> эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>.
+
В <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении <tex>P</tex> их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий <tex>v</tex>(смотри рисунок). Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности содержащая ребра, причем <tex>G_1</tex>  либо полуэйлеров, либо эйлеров <tex>\Rightarrow</tex> в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлерова цепь <tex>Q = (w,v)</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>P+Q</tex> эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 30: Строка 26:
 
[[Файл:ATGexample.jpg|right|300px]]
 
[[Файл:ATGexample.jpg|right|300px]]
 
Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. <br>
 
Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. <br>
Возьмем произвольный [[Дерево, эквивалентные определения|лес]] <tex>H</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с <tex>v</tex>, а каждую вершину четной степени <tex>-</tex> четным числом кратных ребер с <tex>v</tex> (не исключая <tex>0</tex>), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с <tex>v</tex>.<br>
+
Возьмем произвольный [[Дерево, эквивалентные определения|лес]] <tex>H</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с <tex>v</tex>, а каждую вершину четной степени <tex>-</tex> четным числом кратных ребер с <tex>v</tex> (не исключая 0), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с <tex>v</tex>.<br>
 
Полученный граф <tex>G</tex>:
 
Полученный граф <tex>G</tex>:
* связен,
+
* Связен;
* имеет только вершины четной степени,
+
* Имеет только вершины четной степени;
* является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.
+
* Является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.
 
Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. А по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.
 
Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. А по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.
  
 
==См. также==
 
==См. также==
* [[Покрытие рёбер графа путями]]
+
* [[Покрытие ребер графа путями]]
 
* [[Алгоритм построения Эйлерова цикла]]
 
* [[Алгоритм построения Эйлерова цикла]]
  
==Источники информации==
+
 
 +
==Источники==
 
* Асанов М., Баранский В., Расин В. ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.'', Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. ISBN 5-93972-076-5
 
* Асанов М., Баранский В., Расин В. ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы.'', Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. ISBN 5-93972-076-5
  

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)