Изменения

Перейти к: навигация, поиск
м
См. также
{{Определение
|definition=
[[Основные определения теории графов|Граф]] называется '''произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex>''' (англ. '''Arbitrarily traceable graph'''), если любая цепь с началом в вершине <tex>v</tex> может быть продолжена до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>. <br> }}{{Утверждение|statement=Любой произвольно вычерчиваемый из вершины <tex>v</tex> граф является [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровым графом]]. }}
{{Теорема
|statement=
Неодноэлементный [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеров Эйлеров граф]] <tex>G</tex> , содержащий хотя бы одно ребро, является произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex> <tex>\Longleftrightarrow</tex> вершина <tex>v</tex> принадлежит всем циклам графа <tex>G</tex>.<br>
|proof=
[[Файл:ATG_part1.jpg|200px|right]]
<tex>\LongrightarrowRightarrow</tex> <br>Пусть в <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> цикл <tex>C, v \notin C</tex>.<br>Рассмотрим <tex>G_1 = G/C</tex> (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). При удалении цикла все степени вершин остались четными, потому что каждая вершина содержит четное количество ребер цикла, и следовательно <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров, так как при удалении цикла все степени вершин остались четными. Значит Тогда в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из <tex>v</tex>, то и закончится он в <tex>v</tex>. Если теперь вернуть цикл <tex>C</tex>, то мы никак не сможем его обойти , так как из вершины <tex>v</tex> больше нет не посещенных ребер <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G</tex> не свободно вычерчиваемый из <tex>v</tex>.[[Файл:ATG_part2.jpg|200px|leftright]]<tex>\LongleftarrowLeftarrow</tex> <br>Пусть дан эйлеров граф <tex>G</tex>, вершина <tex>v</tex> принадлежит всем его циклам.<br>Рассмотрим произвольный путь <tex>P = (v,\leadsto w)</tex>. Пусть <tex>G_1 = G/P</tex>. Возможно Возможны 2 случая:
1. если # Если <tex>v = w</tex>, то <tex>P</tex> {{---}} цикл, значит степени всех вершин в <tex>G_1</tex> остались четными <tex>\Rightarrow</tex> <tex>G_1</tex> {{---}} эйлеров.<br>2. если # Если <tex>v \neq w</tex>, то так как <tex>G</tex> эйлеров граф <tex>\exists</tex> эйлеров путь <tex>(w,\leadsto v) \in G_1</tex>.
Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам <tex>G_1</tex>.
В <tex>G</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении <tex>P</tex> их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий <tex>v</tex>(смотри рисунок). Значит в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> единственная компонента связности содержащая ребра, причем <tex>G_1</tex> хотя бы либо полуэйлеров , либо эйлеров <tex>\Rightarrow</tex> в <tex>G_1</tex> <tex>\exists</tex> эйлерова цепь <tex>Q = (w,\leadsto v)</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>P+Q</tex> эйлеров цикл в графе <tex>G</tex>.
}}
[[Файл:ATGexample.jpg|right|300px]]
Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины <tex>v</tex>. <br>
Возьмем произвольный [[Дерево, эквивалентные определения|лес]] <tex>H</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с <tex>v</tex>, а каждую вершину четной степени <tex>-</tex> четным числом кратных ребер с <tex>v</tex> (не исключая <tex>0</tex>), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с <tex>v</tex>.<br>
Полученный граф <tex>G</tex>:
* Связен;связен,* Имеет имеет только вершины четной степени;,* Является является произвольно вычерчиваемым из <tex>v</tex>, как эйлеров граф, у которого <tex>v</tex> принадлежит всем циклам.Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины <tex>v</tex>. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины <tex>v</tex> и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит <tex>v</tex>. А по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно. ==См. также==* [[Покрытие рёбер графа путями]]* [[Алгоритм построения Эйлерова цикла]]
==Источникиинформации==''* Асанов М., Баранский В., Расин В.'' Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. '', Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. — С. 36. — ISBN 5-93972-076-5
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Навигация