211
правок
Изменения
Нет описания правки
Неодноэлементный [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеров граф]] <tex>G</tex> является произвольно вычерчиваемым из вершины <tex>v</tex> тогда и только тогда, когда вершина <tex>v</tex> принадлежит любому циклу графа <tex>G</tex>.<br>
|proof=
Пусть вершина <tex>v</tex> эйлерова графа <tex>G</tex> принадлежит любому циклу. Рассмотрим произвольную <tex>(v, w)</tex> — цепь <tex>P</tex> и покажем, что её можно продолжить до [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлеровой цепи]]. Обозначим через <tex>G_1</tex> подграф графа <tex>G</tex>, полученный удалением из <tex>G</tex> всех рёбер цепи <tex>P</tex>. Если <tex>w=v</tex>, то все вершины подграфа <tex>G_1</tex> имеют чётную степень, если же <tex>w\ne v</tex>, то <tex>G_1</tex> содержит в точности две вершины нечётной степени. Пусть <tex>H_0</tex> – компонента связности графа <tex>G_1</tex> , содержащая вершину <tex>v</tex>. Ясно, что вершина <tex>w</tex> принадлежит <tex>H_0</tex> . Следовательно, <tex>H_0</tex> – полуэйлеров граф, и потому в <tex>H_0</tex> существует полу-эйлерова <tex>(v, w)</tex> — цепь <tex>Q</tex>. Очевидно, что <tex>H_0</tex> содержит все рёбра графа <tex>G_1</tex>. Предположим, что <tex>G_1</tex> содержит неодноэлементную компоненту связности <tex>H</tex>, отличную от <tex>H_0</tex> . Тогда <tex>H</tex> – эйлеров граф, и потому в <tex>H</tex> содержится цикл. Этот цикл не проходит через вершину <tex>v</tex>, что невозможно. Следовательно, все компоненты связности подграфа <tex>G_1</tex>, отличные от <tex>H_0</tex>, одноэлементны.<br>
Таким образом, цепь <tex>Q</tex> содержит все рёбра графа <tex>G_1</tex>. Отсюда вытекает, что объединение цепей <tex>P</tex> и <tex>Q</tex> – эйлерова цепь в графе <tex>G</tex>, являющаяся продолжением цепи <tex>P</tex>.<br>
Обратно, пусть в графе <tex>G</tex> существует цикл <tex>C</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Рассмотрим подграф <tex>G_1</tex>, полученный удалением из <tex>G</tex> всех ребер цикла <tex>C</tex>. Пусть <tex>H</tex> – компонента связности подграфа <tex>G_1</tex>, содержащая вершину <tex>v</tex>. Легко понять, что <tex>H</tex> – эйлеров граф. Обозначим через <tex>P</tex> эйлерову цепь подграфа . Можно считать, что началом и концом цепи <tex>P</tex> является вершина <tex>v</tex>. Поскольку <tex>v</tex> не принадлежит циклу <tex>C</tex>, цепь <tex>P</tex> нельзя продолжить до эйлеровой цепи графа <tex>G</tex>.
