Редактирование: Пространство линейных операторов
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 4: | Строка 4: | ||
|definition= Пусть <tex>\mathcal{A}, \mathcal{B} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A}, \mathcal{B} \in X \times Y</tex> <br> | |definition= Пусть <tex>\mathcal{A}, \mathcal{B} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A}, \mathcal{B} \in X \times Y</tex> <br> | ||
− | Отображение <tex>\mathcal{C}</tex> называется суммой <tex>\mathcal{A}</tex> и <tex>\mathcal{B}\ (\mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{B})</tex>, если <tex>\forall x \in X \colon \mathcal{C}x = \mathcal{A}x + \mathcal{B}x</tex> | + | Отображение <tex>\mathcal{C}</tex> называется суммой <tex>\mathcal{A}</tex> и <tex>\mathcal{B}\ (\mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{B})</tex>,\ если <tex>\forall x \in X \colon \mathcal{C}x = \mathcal{A}x + \mathcal{B}x</tex> |
}} | }} | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A} \in X \times Y</tex> <br> | |definition= Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A} \in X \times Y</tex> <br> | ||
− | Отображение <tex>\mathcal{D}</tex> называется произведением <tex>\mathcal{A}</tex> на число <tex>\lambda\ (\mathcal{D} = \mathcal{A} \cdot \lambda)</tex>, если <tex>\forall x \in X \colon \mathcal{D}x = \lambda \mathcal{A}x</tex> | + | |
+ | Отображение <tex>\mathcal{D}</tex> называется произведением <tex>\mathcal{A}</tex> на число <tex>\lambda\ (\mathcal{D} = \mathcal{A} \cdot \lambda)</tex>,\ если <tex>\forall x \in X \colon \mathcal{D}x = \lambda \mathcal{A}x</tex> | ||
}} | }} | ||
{{Лемма | {{Лемма | ||
− | |statement=<tex>\mathcal{C}</tex> и <tex>\mathcal{D}</tex> {{---}} суть( | + | |statement=<tex>\mathcal{C}</tex> и <tex>\mathcal{D}</tex> {{---}} суть линейного оператора (замкнуты) |
|proof = Покажем, что: | |proof = Покажем, что: | ||
# <tex>\mathcal{C}(x_1 + x_2) = \mathcal{C}x_1 + \mathcal{C}x_2</tex> | # <tex>\mathcal{C}(x_1 + x_2) = \mathcal{C}x_1 + \mathcal{C}x_2</tex> | ||
Строка 24: | Строка 25: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
− | |statement = <tex>X \times Y</tex> | + | |statement = <tex>X \times Y</tex> - линейное пространство над полем <tex>F</tex> |
− | |proof= Проверим все 8 аксиом | + | |proof= Проверим все 8 аксиом. Все они будут выполняться. |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
Строка 44: | Строка 36: | ||
{{Лемма | {{Лемма | ||
|statement= Пусть <tex>\mathcal{A} \leftrightarrow A</tex>, <tex>\mathcal{B} \leftrightarrow B</tex>, <tex>\mathcal{C} \leftrightarrow C</tex>, <tex>\mathcal{D} \leftrightarrow D</tex> | |statement= Пусть <tex>\mathcal{A} \leftrightarrow A</tex>, <tex>\mathcal{B} \leftrightarrow B</tex>, <tex>\mathcal{C} \leftrightarrow C</tex>, <tex>\mathcal{D} \leftrightarrow D</tex> | ||
− | <tex> \mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{ | + | <tex> \mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{C}</tex>, |
<tex> \mathcal{D} = \lambda \mathcal{A}</tex> | <tex> \mathcal{D} = \lambda \mathcal{A}</tex> | ||
Строка 55: | Строка 47: | ||
<tex>X \times Y</tex> изоморфно <tex>F_n^m</tex> | <tex>X \times Y</tex> изоморфно <tex>F_n^m</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
− | + | }} | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
Строка 94: | Строка 58: | ||
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]] | [[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]] | ||
− |