Редактирование: Пространство линейных операторов

Рассмотрим <tex>X \times Y = \{</tex> все Л.О. <tex>\mathcal{A} \colon X \to Y\}</tex> <br>

{{Определение
|definition= Пусть <tex>\mathcal{A}, \mathcal{B} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A}, \mathcal{B} \in X \times Y</tex> <br>

Отображение <tex>\mathcal{C}</tex> называется суммой <tex>\mathcal{A}</tex> и <tex>\mathcal{B}\ (\mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{B})</tex>, если <tex>\forall x \in X \colon \mathcal{C}x = \mathcal{A}x + \mathcal{B}x</tex>
}}

{{Определение
|definition= Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A} \in X \times Y</tex> <br>
Отображение <tex>\mathcal{D}</tex> называется произведением <tex>\mathcal{A}</tex> на число <tex>\lambda\ (\mathcal{D} = \mathcal{A} \cdot \lambda)</tex>, если <tex>\forall x \in X \colon \mathcal{D}x = \lambda \mathcal{A}x</tex>
}}


{{Лемма
|statement=<tex>\mathcal{C}</tex> и <tex>\mathcal{D}</tex> {{---}} суть линейного оператора (замкнуты)
|proof = Покажем, что:
# <tex>\mathcal{C}(x_1 + x_2) = \mathcal{C}x_1 + \mathcal{C}x_2</tex>
# <tex>\mathcal{C}(\lambda x) = \lambda \mathcal{C}x</tex>

Аналогично, покажем то же самое для <tex>\mathcal{D}</tex>
}}


{{Теорема
|statement = <tex>X \times Y</tex> {{---}} линейное пространство над полем <tex>F</tex>
|proof= Проверим все 8 аксиом лп. Все они будут выполняться:
# <math>\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}</math>, для любых <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}\in X \times Y</math> (''коммутативность сложения'');
# <math>\mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}</math>, для любых <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in X \times Y</math> (''ассоциативность сложения'');
# существует такой элемент <math>\theta \in X \times Y</math>, что <math>\mathbf{x} + \theta = \mathbf{x}</math> для любого <math>\mathbf{x} \in X \times Y</math> (''существование нейтрального элемента относительно сложения''), в частности <math>X \times Y</math> не пусто;
# для любого <math>\mathbf{x} \in X \times Y</math> существует такой элемент <math>-\mathbf{x} \in X \times Y</math>, что <math>\mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \theta</math> (''существование противоположного элемента относительно сложения'').
# <math>\alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x}</math> (''ассоциативность умножения на скаляр'');
# <math>1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}</math> (''унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор'').
# <math>(\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x}</math> (''дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров'');
# <math>\alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}</math>(''дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов'').

}}


{{Определение
|definition= <tex>X \times Y</tex> называется прямым произведением пространств <tex>X</tex> и <tex>Y</tex>
}}

{{Лемма
|statement= Пусть <tex>\mathcal{A} \leftrightarrow A</tex>, <tex>\mathcal{B} \leftrightarrow B</tex>, <tex>\mathcal{C} \leftrightarrow C</tex>, <tex>\mathcal{D} \leftrightarrow D</tex>
<tex> \mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{B}</tex>,
<tex> \mathcal{D} = \lambda \mathcal{A}</tex>

Тогда: <tex>C = A + B;\quad D = \lambda A</tex>
}}


{{Теорема
|statement = Пусть <tex>F_n^m = \{</tex> все матрицы <tex>A_{[m \times n]} = \begin{Vmatrix} \alpha^i_k \end{Vmatrix},\ \alpha^i_k \in F \}</tex><br>
<tex>X \times Y</tex> изоморфно <tex>F_n^m</tex>
|proof= 
<tex> \mathcal{A} \overset{\underset{\mathrm{!}}{}}{\longleftrightarrow} A</tex> (единственным образом)

<tex> \{e_i\}_{i=0}^{n}</tex> {{---}} базис <tex>X ;\quad  \{h_k\}_{k=0}^{m}</tex> {{---}} базис <tex>Y</tex>

Рассмотрим <tex>\mathcal{E}_k^i \colon X \to Y </tex> по формуле <tex>\mathcal{E}_k^i x \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \xi^{i} h_k; \quad x \overset{\underset{\mathrm{!}}{}}{=} \sum\limits_{i=0}^{n} \xi^i e_i</tex>

Матрица <tex>\mathcal{E}^i_k e_j = \delta^i_j h_k</tex>

<tex>e_j = \begin{pmatrix}
0 \\
\vdots \\
1 \\
\vdots \\
0
\end{pmatrix} \leftarrow j</tex>

<tex>\mathcal{E}^i_k \longleftrightarrow E^i_k = \begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \  & \vdots & \  & \vdots \\
0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \  & \vdots & \  & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
\end{pmatrix} \leftarrow h_k \\
</tex>

Базис <tex>F_n^m</tex> состоит из таких же матриц
}}

{{Теорема
|statement = <tex>\{\mathcal{E}^i_k\}^{i = \overline{1, n}}_{k = \overline{1, m}}\ </tex> {{---}} базис <tex>X \times Y</tex>
}}

== Ссылки ==
* [[Линейный оператор]]

== Источники ==
* Анин конспект

[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
[[Категория: Линейные операторы]]