Редактирование: Пространство линейных операторов
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 9: | Строка 9: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A} \in X \times Y</tex> <br> | |definition= Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A} \in X \times Y</tex> <br> | ||
− | Отображение <tex>\mathcal{D}</tex> называется произведением <tex>\mathcal{A}</tex> на число <tex>\lambda\ (\mathcal{D} = \mathcal{A} \cdot \lambda)</tex>, если <tex>\forall x \in X \colon \mathcal{D}x = \lambda \mathcal{A}x</tex> | + | Отображение <tex>\mathcal{D}</tex> называется произведением <tex>\mathcal{A}</tex> на число <tex>\lambda\ (\mathcal{D} = \mathcal{A} \cdot \lambda)</tex>,\ если <tex>\forall x \in X \colon \mathcal{D}x = \lambda \mathcal{A}x</tex> |
}} | }} | ||
Строка 25: | Строка 25: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement = <tex>X \times Y</tex> {{---}} линейное пространство над полем <tex>F</tex> | |statement = <tex>X \times Y</tex> {{---}} линейное пространство над полем <tex>F</tex> | ||
− | |proof= Проверим все 8 аксиом | + | |proof= Проверим все 8 аксиом. Все они будут выполняться. |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
Строка 44: | Строка 35: | ||
{{Лемма | {{Лемма | ||
|statement= Пусть <tex>\mathcal{A} \leftrightarrow A</tex>, <tex>\mathcal{B} \leftrightarrow B</tex>, <tex>\mathcal{C} \leftrightarrow C</tex>, <tex>\mathcal{D} \leftrightarrow D</tex> | |statement= Пусть <tex>\mathcal{A} \leftrightarrow A</tex>, <tex>\mathcal{B} \leftrightarrow B</tex>, <tex>\mathcal{C} \leftrightarrow C</tex>, <tex>\mathcal{D} \leftrightarrow D</tex> | ||
− | <tex> \mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{ | + | <tex> \mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{C}</tex>, |
<tex> \mathcal{D} = \lambda \mathcal{A}</tex> | <tex> \mathcal{D} = \lambda \mathcal{A}</tex> | ||
Строка 55: | Строка 46: | ||
<tex>X \times Y</tex> изоморфно <tex>F_n^m</tex> | <tex>X \times Y</tex> изоморфно <tex>F_n^m</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
− | <tex> \mathcal{A} \overset{\underset{\mathrm{!}}{}}{\longleftrightarrow} A</tex> (единственным образом) | + | '''Шаг 1.''' <tex> \mathcal{A} \overset{\underset{\mathrm{!}}{}}{\longleftrightarrow} A</tex> (единственным образом) |
<tex> \{e_i\}_{i=0}^{n}</tex> {{---}} базис <tex>X ;\quad \{h_k\}_{k=0}^{m}</tex> {{---}} базис <tex>Y</tex> | <tex> \{e_i\}_{i=0}^{n}</tex> {{---}} базис <tex>X ;\quad \{h_k\}_{k=0}^{m}</tex> {{---}} базис <tex>Y</tex> | ||
Строка 61: | Строка 52: | ||
Рассмотрим <tex>\mathcal{E}_k^i \colon X \to Y </tex> по формуле <tex>\mathcal{E}_k^i x \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \xi^{i} h_k; \quad x \overset{\underset{\mathrm{!}}{}}{=} \sum\limits_{i=0}^{n} \xi^i e_i</tex> | Рассмотрим <tex>\mathcal{E}_k^i \colon X \to Y </tex> по формуле <tex>\mathcal{E}_k^i x \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \xi^{i} h_k; \quad x \overset{\underset{\mathrm{!}}{}}{=} \sum\limits_{i=0}^{n} \xi^i e_i</tex> | ||
− | Матрица <tex>\mathcal{E}^i_k e_j = \ | + | Матрица <tex>\mathcal{E}^i_k e_j = \sigma^i_j h_k</tex> |
<tex>e_j = \begin{pmatrix} | <tex>e_j = \begin{pmatrix} | ||
Строка 80: | Строка 71: | ||
</tex> | </tex> | ||
− | Базис <tex>F_n^m</tex> состоит из таких же матриц | + | '''Шаг 2.''' Базис <tex>F_n^m</tex> состоит из таких же матриц |
− | }} | + | |
+ | Осталось доказать, что <tex>\{\mathcal{E}_i^k\}_{i = \overline{1, n}}^{k = \overline{1, m}}</tex> {{---}} базис <tex>X \times Y</tex> | ||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||