Изменения

Отображение <tex>\mathcal{D}</tex> называется произведением <tex>\mathcal{A}</tex> на число <tex>\lambda\ (\mathcal{D} = \mathcal{A} \cdot \lambda)</tex>,\ если <tex>\forall x \in X \colon \mathcal{D}x = \lambda \mathcal{A}x</tex>

|proof= Проверим все 8 аксиомлп. Все они будут выполняться.# <math>\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}</math>, для любых <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}\in X \times Y</math> (''коммутативность сложения'');# <math>\mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}</math>, для любых <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in X \times Y</math> (''ассоциативность сложения'');# существует такой элемент <math>\theta \in X \times Y</math>, что <math>\mathbf{x} + \theta = \mathbf{x}</math> для любого <math>\mathbf{x} \in X \times Y</math> (''существование нейтрального элемента относительно сложения''), в частности <math>X \times Y</math> не пусто;# для любого <math>\mathbf{x} \in X \times Y</math> существует такой элемент <math>-\mathbf{x} \in X \times Y</math>, что <math>\mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \theta</math> (''существование противоположного элемента относительно сложения'').# <math>\alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x}</math> (''ассоциативность умножения на скаляр'');# <math>1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}</math> (''унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор'').# <math>(\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x}</math> (''дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров'');# <math>\alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}</math>(''дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов''). 

Матрица <tex>\mathcal{E}^i_k e_j = \sigmadelta^i_j h_k</tex>