Изменения

[[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега|<tex<]][[Мера подграфика|> (X, \mathcal A, \mu) </tex>]]

Будем рассматривать <tex> E \subset (X, \mathcal A , \mu) </tex>.Пусть <tex> E </tex> измеримо, <tex> p \ge 1 </tex>.

<tex> L_p(E) = \{f </tex> - [[Определение измеримой функции|измерима ]] на <tex> E, \int\limits_E {|f|}^p d \mu < + \infty \} </tex>, то есть пространство функций, суммируемых с <tex> p </tex>й -ой степенью на <tex> E </tex>. Измеримость <tex> f </tex> на <tex> E </tex> принципиальна, так как в общем случае из измеримости <tex> |f|^p </tex> не вытекает измеримость <tex> f </tex>.

ВидимоПример, примеркоторый подтверждает это:

<tex> f(x) = \begin{cases} 1, & x \in E \setminus E_1 \\ -1, & x \in E_1 \end{cases} </tex> — не измеримо измерима на <tex> E </tex>, так как ее множество Лебега <tex> E(f(x) \le -1) = E_1 </tex> - неизмеримо.

Но <tex> E(|f(x) \le -| = 1) = E_1 </tex> - нет {{TODO|t=что нет? o_O }}на <tex> E </tex> уже будет измеримой. Значит, из измеримости модуля не вытекает измеримость функции.

ПроверимОчевидно, что <tex> L_p|f + g|^p \le (E|f| + |g| ) ^p </tex> — измеримое множество.

Пусть <tex> \int\limits_E E_1 = E(|f|^p, \int\limits_E le |g|^p < + \infty ) </tex> — следует ли ,<tex> \int\limits_E E_2 = E(|\alpha f + \beta | > |g|^p ) </tex>,< + tex> E = E_1 \infty cup E_2 </tex>.

Достаточно(почему?) доказать, что Тогда <tex> \int\limits_E |f + g|^p \le \int\limits_E (|f| + |g|)^p = \int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} \le \int\limits_{E_1} (2 |g|)^p + \int\limits_{E_2} (2 |f|)^p \le 2^p (\int\limits_{E_1} |f|^p + \int\limits_{E_2} |g|^p) < + \infty </tex>.

2) Если <tex> \int \limits_E |f + g|^p < +\infty </tex>, то и <tex> \int \le ( limits_E |\alpha f| + ^p = |\alpha|^p \int \limits_E |gf| )^p < +\infty </tex>.

{{Теорема|statement=<tex> L_p(E ) </tex> с нормой, определенной как <tex> ||f||_p = E_1 \cup E_2 left( \int\limits_E |f|^p \right)^{1/p} </tex>— [[Нормированные пространства|нормированное пространство]].|proof=

1) <tex> \int\limits_E |f + g|^p \le \int\limits_E (|f| + |g|)^p = _p \int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} \le \int\limits_{E_1} (2 |g|)^ge 0</tex>, так как корень <tex>p + \int\limits_{E_2} (2 </tex>-ой степени; <tex> |f|)^p \le 2^p (\int\limits_{E_1} |f|^p + \int\limits_{E_2} |g|^p) < + _p = 0 \infty Leftrightarrow f = 0 </tex> — отождествление функции, что и требовалось доказатьсовпадают почти всюду.

Превратим Вспомним <tex> L_p{\left(E\sum (a_i + b_i) ^p \right)}^{1/p} \le {\left( \sum a_i^p \right)}^{1/p} + {\left( \sum b_i^p \right)}^{1/p} </tex> в нормированное пространство:— неравенство Минковского.

<tex> ||f||_p = \left( \int\limits_E |f|^p \right)^{1/p} </tex> <tex> ||f||_p = 0 \Leftrightarrow f = 0 </tex> — отождествление функции, совпадают почти всюду. Свойства интеграла: <tex> ||\alpha f||_p = |\alpha| ||f||_p </tex>  <tex> ||f + g||_p \le ||f||_p + ||g||_p </tex>  <tex> {\left( \sum (a_i + b_i)^p \right)}^{1/p} \le {\left( \sum a_i^p \right)}^{1/p} + {\left( \sum b_i^p \right)}^{1/p} </tex> — Если мы получим аналогичное неравенство Минковского. Такое же неравенство можно написать для интеграла и получить нужноеинтегралов, то полуаддитивность будет доказана.

Так как <tex> \int\limits_E \frac{|f|^p}{||f||_p^p} </tex>(аналогично, <tex> g </tex> и <tex> q </tex>), равны 1, получаем:

<tex> \int\limits_E |f| |g| \le ||f||_p ||g||_q </tex> — неравенство Гёльдерадля интегралов.

<tex> \int\limits_E {(|f| + |g|)}^p = \int\limits_E {(|f| + |g|)}^{p-1} |f| + \int\limits_E {(|f| + |g|)}^{p-1} |g| \le </tex> <tex> \le {( \int\limits_E |f|^p )} ^{1/p} {( \int\limits_E (|f| + |g|)^{WTF???(p-1)q} )}^{\frac1q} + {( \int\limits_E |g|^p )} ^{1/p} {( \int\limits_E (|f| + |g|)^{(p-1)q})}^{\frac1q}</tex>

Значит, <tex> ||\ cdot||_p </tex> — норма, <tex> L_p(E) </tex> — нормированное пространство, можно определить предел и т.д.

Примечание: должен был возникнуть При рассмотрении нормированных пространств одним из основных вопросов является вопрос их полноты — почему <tex> p \ge 1 </tex>?верно ли, что

<tex> ||f_n - f_m||_p \intxrightarrow[n,m \limits_E |to \infty]{} 0 \Rightarrow f \in L_p(E): f|^p d = \lim\limits_{n \mu < + to \infty } f_n </tex> при <tex> 0 < p < 1 </tex>.?

Так как<tex> ||f_n - f_m||_p \to le ||f_n - f \stackrel{def}{\Leftrightarrow} \int\limits_E |f_n |_p + ||f_m - f|^p d \mu \to 0 |_p </tex>, то

<tex> L_p(E) f_n \to f \Rightarrow f_n - f_m \to 0 </tex> тогда будет ТВП({{TODO|t=чё??}}), но не будет локально выпуклым, следовательно, не построим тривиальной линейной функции2— получили сходимость в себе. Полнота нормированного пространства:

<tex> ||f_n - f_m||_p \xrightarrowПрежде чем выяснить ответ на этот вопрос, посмотрим, что происходит с [[nОпределение интеграла Римана,m \to \inftyпростейшие свойства|интегралом Римана]]{} 0 \stackrel{?}{\Rightarrow} f \in L_p(E): f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n </tex>.

Обратное всегда верно:Пусть <tex> ||f_n - f_m||_p E = [a, b], \le ||f_n - f||_p + ||f_m - f||_p lambda </tex>— мера Лебега на <tex> E </tex>.

<tex> f_n \to int\limits_a^b f \Rightarrow f_n - f_m \to 0 (x) dx </tex> — сходимость в себеинтеграл Римана.

<tex> E = [a, b], \lambda </tex> — мера Лебега на <tex> E </tex>. <tex> \int\limits_a^b f(x) dx </tex> — Риман <tex> \int\limits_{[a, b]} f d \lambda </tex> — Лебег. <tex> \tilde{L_p}(a, b) = \{ f: [a, b] \to \mathbb R : \int\limits_a^b |f|^p dx < + \infty \} </tex> Нормированное пространство, но оно не будет полным. <tex> f_n \in \tilde{L_p}, \int\limits_a^b |f_n - f_m|^p dx \to 0 </tex> Может не найтись интеграла по Риману функции, которая будет пределом <tex> f_n </tex>. Именно поэтому потребовалось распространение интеграла Римана на функции, суммируемые по Лебегу.

<tex> \forall L_p(E) </tex> — полное.

По условию теоремы, <tex> \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu \to 0 </tex> по условию теоремы.

<tex> E_{n, m} (\delta) = E(|f_n(x) - f_m(x)| \ge \delta) </tex> — часть <tex> E </tex>, поэтому <tex> \int\limits_{E_{n,m}(\delta)} |f_n - f_m|^p \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p </tex>.

<tex> f_n - f_m \Rightarrow 0, </tex> при <tex> n, m \to \infty </tex>.

По лемме, которая перед теоремой Риса, утверждалось, что можно выделить <tex> f_{n_k} </tex>, почти везде стремящуюся сходящуюся к <tex> f </tex>. Установим с помощью теоремы Фату, что это — требуемая предельная функция <tex> f </tex> в <tex> L_p </tex> для <tex> E_n E</tex>.

<tex> ||f_n - f_m||_p \to 0 </tex>, следовательно,<tex> \forall \varepsilon > 0 \ \exists N: \forall n,m > N: \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu < \varepsilon^p </tex>

Итак, <tex> {\left(\int\limits_E |f - f_m|^p \right)}^{1/p} < \varepsilon</tex> при <tex> m > N </tex>. Отсюда, <tex> f - f_m \in L_p(E) </tex>. Но <tex> f = (f - f_m) + f_m </tex> и, по линейности, <tex> f \in L_p(E </tex>). Тогда неравенство можно переписать: <tex> ||f_m - f||_p < \varepsilon \ \forall m > N </tex>. Тогда по определению <tex> f = \lim\limits_{m \to \infty} f_m </tex>, полнота доказана. Примечание: на этапе выделения подпоследовательности <tex> f_{n_k} </tex>, стремящейся к <tex> f </tex> почти всюду, может получиться, что <tex> f </tex> — не интегрируема по Риману. }} == Всюду плотность <tex>C</tex> в <tex>L_p</tex> ==

Отсюда{{Теорема|statement=Измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>|proof=По абсолютной непрерывности интеграла для любого <tex>\varepsilon</tex> существует <tex>\delta</tex> такое, что для <tex> A \subset E</tex> из <tex>\mu A < \delta</tex> следует <tex>\left| \int\limits_A f - f_m ^p d\mu \right| < \in L_p(E) varepsilon^p</tex>.

Далее, рассмотрим множества <tex> f A_n = E(|f - f_m| > n) + f_m </tex> и по линейности . Очевидно, <tex> f \in L_p(E bigcap\limits_{n = 1}^\infty A_n = \varnothing</tex>). Тогда неравенство можно переписать: и <tex> ||f_m - f||_p < \varepsilon \ A_{n + 1} \forall m > N subset A_n</tex>. Тогда по определению , следовательно, <tex> f = \lim\limits_{m n \to rightarrow \infty} f_m \mu A_n = 0</tex>. Значит, полнота доказананайдётся такое <tex>k</tex>, что <tex>\mu A_k < \delta</tex>. Положим <tex>g(x) = f(x)</tex>, если <tex>x \notin A_k</tex> и <tex>g(x) = 0</tex> иначе. Эта функция измерима и ограничена.

Примечание: на этапе выделения Тогда <tex> f_\|f - g\|^p = \left| \int\limits_E (f - g)^p d\mu \right| = \left| \int\limits_{n_kE(f \neq g)} (f - g)^p \right| = \left| \int\to limits_{E(f \neq g)} f^p \right| < \varepsilon^p</tex> — измеримая(WUT?) может получиться, что то есть, <tex> \|f - g\| < \varepsilon</tex>. Значит, измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex> — не интегрируема по Риману.}}