Изменения
викификация
Пусть <tex> E </tex> измеримо, <tex> p \ge 1 </tex>.
<tex> L_p(E) = \{f </tex> - [[Определение измеримой функции|измерима ]] на <tex> E, \int\limits_E {|f|}^p d \mu < + \infty \} </tex>, то есть пространство функций, суммируемых с <tex> p </tex>-ой степенью на <tex> E </tex>. Измеримость <tex> f </tex> на <tex> E </tex> принципиальна, так как в общем случае из измеримости <tex> |f| </tex> не вытекает измеримость <tex> f </tex>.
Пример, который подтверждает это:
{{Теорема
|statement=
<tex> L_p(E) </tex> с нормой, определенной как <tex> ||f||_p = \left( \int\limits_E |f|^p \right)^{1/p} </tex> — [[Нормированные пространства|нормированное пространство]].
|proof=
<tex> f_n \in L_p(E) </tex>
Прежде чем выяснить ответ на этот вопрос, посмотрим, что происходит с [[Определение интеграла Римана, простейшие свойства|интегралом Римана]]:
Пусть <tex> E = [a, b], \lambda </tex> — мера Лебега на <tex> E </tex>.
Измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>
|proof=
По абсолютной непрерывности интеграла для любого <tex>\varepsilon</tex> существует <tex>\delta</tex> такое, что для <tex>A \subset E</tex> из <tex>\mu A < \delta</tex> следует <tex>\left| \int\limits_A f^p d\mu \right| < \varepsilon^p</tex>.
Далее, рассмотрим множества <tex>A_n = E(|f| > n)</tex>. Очевидно, <tex>\bigcap\limits_{n = 1}^\infty A_n = \varnothing</tex> и <tex>A_{n + 1} \subset A_n</tex>, следовательно, <tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mu A_n = 0</tex>. Значит, найдётся такое <tex>k</tex>, что <tex>\mu A_k < \delta</tex>. Положим <tex>g(x) = f(x)</tex>, если <tex>x \notin A_k</tex> и <tex>g(x) = 0</tex> иначе. Эта функция измерима и ограничена.
Тогда <tex>\|f - g\|^p = \left| \int\limits_E (f - g)^p d\mu \right| = \left| \int\limits_{E(f \neq g)} (f - g)^p \right| = \left| \int\limits_{E(f \neq g)} f^p \right| < \varepsilon^p</tex>, то есть, <tex>\|f - g\| < \varepsilon</tex>. Значит, измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>.
}}
