1679
правок
Изменения
тех запилю потом
Значит, || ||_p — норма, L_p(E) — нормированное пространство, можно определить предел и т.д.
Примечание: должен был возникнуть вопрос — почему p \ge 1?
\int\limits_E |f|^p d \mu < + \infty при 0 < p < 1.
Тогда не будет работать неравенство Минковского.
L_p(E) — все равно линейное множество. Надо определить предельный переход не с помощью нормы.(как — третий курс)
f_n \to f \stackerl[def]{\Leftrightarrow} \int\limits_E |f_n - f|^p d \mu \to 0
L_p(E) тогда будет ТВП({{TODO|t=чё??}}), но не будет локально выпуклым, следовательно, не построим тривиальный линейный функционал.
Полнота нормированного пространства:
f_n \in L_p(E)
||f_n - f_m||_p \xrightarrow[n,m \to \infty]{} 0 \stackrel{?}{\Rightarrow} f \in L_p(E): f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n.
Обратное всегда верно:
||f_n - f_m||_p \le ||f_n - f||_p ||f_m - f||_p
f_n \to f \Rightarrow f_n - f_m \to 0 — сходимость в себе.
R = [a, b], \lambda — мера Лебега на E.
\int\limits_a^b f(x) dx — Риман
\int\limits_{[a, b]} f d \lambda — Лебег.
\tilda{L_p}(a, b) = \{ f: [a, b] \to \mathbb R : \int\limits_a^b |f|^p dx < + \infty \}
Нормированное пространство, но оно не будет полным.
f_n \in \tilda{L_p}, \int\limits_a^b |f_n - f_m|^p dx \to 0
Может не найтись интеграла по Риману функции, которая будет пределом f_n. Именно поэтому потребовалось распространение интеграла Римана на функции, суммируемые по Лебегу.
{{Теорема
|about=
о полноте
|statement=
\forall L_p(E) — полное.
|proof=
\int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu \to 0 по условию теоремы.
E_{n, m} (\delta) = E(|f_n(x) - f_m(x)| \ge \delta) — часть E.
\int\limits_{E_{n,m}(\delta)} |f_n - f_m|^p \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p
\delta^p \mu E_{n, m} (\delta) \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p \to 0, \delta — фиксирована.
Тогда \mu E(|f_n - f_m| \ge \delta) \to 0.
f_n = f_, \to 0, n, m \to \infty
По лемме, которая перед теоремой Риса, утверждалось, что можно выделить f_{n_k}, почти везде \to f. Установим с помощью теоремы Фату, что это — требуемая предельная функция f в L_p для E_n.
||f_n - f_m||_p \to 0
\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall n,m < N: \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu < \varepsilon^p
Фиксируем \forall m > N и будем вместо n подставлять n_k > N.
f_{n_k}(x) - f_m(x) \to f(x) - f_m(x)
По теореме Фату: \int\limits_E |f - f_m|^p \le \sum\limits_{k: n_k > N} \int\limits_E |f_{n_k} - f_m|^p < \varepsilon^p
Итак, {\left(\int\limits_E |f - f_m|^p \right)}^{1/p} < \varepsilon, m > N
Отсюда, f - f_m \in L_p(E)
f = (f - f_m) + f_m и по линейности f \in L_p(E). Тогда неравенство можно переписать: ||f_m - f||_p < \varepsilon \forall m > N. Тогда по определению f = \lim\limits_{m \to \infty} f_m, полнота доказана.
Примечание: на этапе выделения f_{n_k} \to f — измеримая может получиться, что f — не интегрируема по Риману.
