Изменения

По абсолютной непрерывности интеграла для любого <tex>\varepsilon</tex> существует <tex>\delta</tex> такое, что для <tex>A \subset E</tex> из <tex>\mu A < \delta</tex> следует <tex>\int_A int\limits_A f^p d\mu < \varepsilon^p</tex>. Далее, рассмотрим множества <tex>A_n = E(|f| > n)</tex>. Очевидно, <tex>\bigcap\limits_{n = 1}^\infty A_n = \varnothing</tex> и <tex>A_{n + 1} \subset A_n</tex>, следовательно, <tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mu A_n = 0</tex>. Значит, найдётся такое <tex>k</tex>, что <tex>\mu A_k < \delta</tex>. Положим <tex>g(x) = f(x)</tex>, если <tex>x \notin A_k</tex> и <tex>g(x) = 0</tex> иначе. Эта функция измерима и ограничена. Тогда <tex>\|f - g\|^p = \int\limits_E (f - g)^p d\mu = \int\limits_{E(f \neq g)} (f - g)^p = \int\limits_{E(f \neq g)} f^p < \varepsilon^p</tex>, то есть, <tex>\|f - g\| < \varepsilon</tex>. Значит, измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>.

Пусть <tex>f \in L_p</tex>, подберём ограниченную <tex>g</tex>, такую, что <tex>\|f - g\| < \varepsilon / 2</tex>. Пусть <tex>|g| \le K</tex>. По теореме Лузина существует такая непрерывная функция <tex>\varphi</tex>, что <tex>\mu E(\varphi \neq g) < \frac{\varepsilon^p}{(4K)^p}</tex> и <tex>|\varphi| \le K</tex>. Тогда <tex>\|\varphi - g\|^p = \int_E int\limits_E (\varphi - g)^p d\mu = \int_int\limits_{E(\varphi \neq g)} (\varphi - g)^p \le (2K)^p \cdot \mu E(\varphi \neq g) < (\varepsilon / 2)^p</tex>, то есть <tex>\|\varphi - g\| < \varepsilon / 2</tex>.