Изменения

Примечание: должен был возникнуть вопрос — почему <tex> p \ge 1</tex>?

<tex> \int\limits_E |f|^p d \mu < + \infty </tex> при <tex> 0 < p < 1</tex>.

<tex> L_p(E) </tex> — все равно линейное множество. Надо определить предельный переход не с помощью нормы.(как — третий курс)

<tex> f_n \to f \stackerl[stackrel{def]}{\Leftrightarrow} \int\limits_E |f_n - f|^p d \mu \to 0</tex>

<tex> L_p(E) </tex> тогда будет ТВП({{TODO|t=чё??}}), но не будет локально выпуклым, следовательно, не построим тривиальный линейный функционалтривиальной линейной функции2.

<tex> f_n \in L_p(E) </tex>

<tex> ||f_n - f_m||_p \xrightarrow[n,m \to \infty]{} 0 \stackrel{?}{\Rightarrow} f \in L_p(E): f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n</tex>.

<tex> ||f_n - f_m||_p \le ||f_n - f||_p + ||f_m - f||_p</tex> <tex> f_n \to f \Rightarrow f_n - f_m \to 0 </tex> — сходимость в себе. 

R <tex> E = [a, b], \lambda </tex> — мера Лебега на <tex> E</tex>.

<tex> \int\limits_a^b f(x) dx </tex> — Риман

<tex> \int\limits_{[a, b]} f d \lambda </tex> — Лебег.

<tex> \tildatilde{L_p}(a, b) = \{ f: [a, b] \to \mathbb R : \int\limits_a^b |f|^p dx < + \infty \}</tex>

<tex> f_n \in \tildatilde{L_p}, \int\limits_a^b |f_n - f_m|^p dx \to 0</tex>

Может не найтись интеграла по Риману функции, которая будет пределом <tex> f_n</tex>. Именно поэтому потребовалось распространение интеграла Римана на функции, суммируемые по Лебегу.

<tex> \forall L_p(E) </tex> — полное.

<tex> \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu \to 0 </tex> по условию теоремы.

<tex> E_{n, m} (\delta) = E(|f_n(x) - f_m(x)| \ge \delta) </tex> — часть <tex> E.</tex>, поэтому <tex> \int\limits_{E_{n,m}(\delta)} |f_n - f_m|^p \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p </tex>

<tex> \intdelta^p \limits_{mu E_{n,m}(\delta)} |f_n - f_m|^p \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p\to 0, \delta </tex> — фиксирована.

\delta^p Тогда <tex> \mu E_{n, m} E(\delta) \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p \ge \delta) \to 0, \delta — фиксирована</tex>.

Тогда \mu E(|<tex> f_n - f_m| \ge Rightarrow 0, n, m \delta) to \to 0.infty </tex>

f_n = По лемме, которая перед теоремой Риса, утверждалось, что можно выделить <tex> f_{n_k} </tex>, \to 0, nпочти везде стремящуюся к <tex> f </tex>. Установим с помощью теоремы Фату, m \to \inftyчто это — требуемая предельная функция <tex> f </tex> в <tex> L_p </tex> для <tex> E_n </tex>.

По лемме, которая перед теоремой Риса, утверждалось, что можно выделить f_{n_k}, почти везде <tex> ||f_n - f_m||_p \to f. Установим с помощью теоремы Фату, что это — требуемая предельная функция f в L_p для E_n.0 </tex>

|<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall n,m > N: \int\limits_E |f_n - f_m||_p ^p d \mu < \to 0varepsilon^p </tex>

Фиксируем <tex> \forall \varepsilon m > 0 \exists N: \forall </tex> и будем вместо n,m подставлять < tex> n_k > N: \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu < \varepsilon^p/tex>.

Фиксируем \forall m <tex> N и будем вместо n подставлять f_{n_k }(x) - f_m(x) \to f(x) - f_m(x) </tex> N.

По теореме Фату: <tex> \int\limits_E |f - f_m|^p \le \sup\limits_{k: n_k > N} \int\limits_E |f_{n_k}(x) - f_m(x) |^p < \to f(x) - f_m(x) varepsilon^p </tex>

По теореме Фату: Итак, <tex> {\left(\int\limits_E |f - f_m|^p \le \sum\limits_{k: n_k > Nright)} \int\limits_E |f_^{n_k1/p} - f_m|^p < \varepsilon^p, m > N </tex>

ИтакОтсюда, {\left(\int\limits_E |<tex> f - f_m|^p \rightin L_p(E)}^{1</p} < \varepsilon, m tex> N

Отсюда, <tex> f = (f - f_m ) + f_m </tex> и по линейности <tex> f \in L_p(E</tex>). Тогда неравенство можно переписать: <tex> ||f_m - f||_p < \varepsilon \ \forall m > N </tex>. Тогда по определению <tex> f = \lim\limits_{m \to \infty} f_m </tex>, полнота доказана.

Примечание: на этапе выделения <tex> f_{n_k} \to f = </tex> — измеримая(f - f_mWUT?) + f_m и по линейности f \in L_p(E). Тогда неравенство можно переписать: ||f_m - может получиться, что <tex> f||_p < \varepsilon \forall m /tex> N. Тогда — не интегрируема по определению f = \lim\limits_{m \to \infty} f_m, полнота доказанаРиману.

Примечание: на этапе выделения f_{n_k} \to f — измеримая может получиться, что f — не интегрируема по Риману.}