Изменения

[[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега|<tex<]][[Мера подграфика|> (X, \mathcal A, \mu) </tex>]]

Будем рассматривать <tex> E \subset (X, \mathcal A , \mu) </tex>.Пусть <tex> E </tex> измеримо, <tex> p \ge 1 </tex>.

<tex> L_p(E) = \{f </tex> - измерима на <tex> E, \int\limits_E {|f|}^p d \mu < + \infty \} </tex>, то есть пространство функций, суммируемых с <tex> p </tex>й -ой степенью на <tex> E </tex>. Измеримость <tex> f </tex> на <tex> E </tex> принципиальна, так как в общем случае из измеримости <tex> |f|^p </tex> не вытекает измеримость <tex> f </tex>.

ВидимоПример, примеркоторый подтверждает это:

<tex> f(x) = \begin{cases} 1, & x \in E \setminus E_1 \\ -1, & x \in E_1 \end{cases} </tex> — не измеримо измерима на <tex> E </tex>.

Но <tex> E(|f(x) \le -|^p = 1) = E_1 </tex> - нет {{TODO|t=что нет? o_O }}на <tex> E </tex> уже будет измеримой. Значит, из измеримости модуля не вытекает измеримость функции.

ПроверимОчевидно, что <tex> L_p|f + g|^p \le (E|f| + |g| ) ^p </tex> — измеримое множество.

Пусть <tex> \int\limits_E E_1 = E(|f|^p, \int\limits_E le |g|^p < + \infty ) </tex> — следует ли ,<tex> \int\limits_E E_2 = E(|\alpha f + \beta | > |g|^p ) </tex>,< + tex> E = E_1 \infty cup E_2 </tex>.

Достаточно(почему?) доказать, что Тогда <tex> \int\limits_E |f + g|^p \le \int\limits_E (|f| + |g|)^p = \int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} \le \int\limits_{E_1} (2 |g|)^p + \int\limits_{E_2} (2 |f|)^p \le 2^p (\int\limits_{E_1} |f|^p + \int\limits_{E_2} |g|^p) < + \infty </tex>.

2) Если <tex> \int \limits_E |f + g|^p < +\infty </tex>, то и <tex> \int \le ( limits_E |\alpha f| + ^p = |\alpha|^p \int \limits_E |gf| )^p < +\infty </tex>.

<tex> E_1 = E(|f| \le |g|) </tex>Таким образом, линейность доказана.<tex> E_2 = E(|f| > |g|) </tex> <tex> E = E_1 \cup E_2 </tex> <tex> \int\limits_E |f + g|^p \le \int\limits_E (|f| + |g|)^p = \int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} \le \int\limits_{E_1} (2 |g|)^p + \int\limits_{E_2} (2 |f|)^p \le 2^p (\int\limits_{E_1} |f|^p + \int\limits_{E_2} |g|^p) < + \infty </tex> , что и требовалось доказать.

Превратим 1) <tex> L_p(E) ||f||_p = 0 \Leftrightarrow f = 0 </tex> в нормированное пространство:— отождествление функции, совпадают почти всюду. {{TODO|t=ШТО}}

2) <tex> ||\alpha f||_p = |\left( \int\limits_E alpha| ||f|^p \right)^{1/p} |_p </tex>— напрямую следует из линейности интеграла.

3) <tex> ||f+ g||_p = 0 \Leftrightarrow le ||f = 0 ||_p + ||g||_p </tex> — отождествление функции, совпадают почти всюду.:

<tex> ||\alpha f||_p = |\alpha| ||f||_p </tex>  <tex> ||f + g||_p \le ||f||_p + ||g||_p </tex>  <tex> {\left( \sum (a_i + b_i)^p \right)}^{1/p} \le {\left( \sum a_i^p \right)}^{1/p} + {\left( \sum b_i^p \right)}^{1/p} </tex> — Если мы получим аналогичное неравенство Минковского. Такое же неравенство можно написать для интеграла и получить нужноеинтегралов, то полуаддитивность будет доказана.

<tex> \int\limits_E |f| |g| \le ||f||_p ||g||_q </tex> — неравенство Гёльдерадля интегралов.

<tex> \int\limits_E {(|f| + |g|)}^p = \int\limits_E {(|f| + |g|)}^{p-1} |f| + \int\limits_E {(|f| + |g|)}^{p-1} |g| \le </tex> <tex> \le {( \int\limits_E |f|^p )} ^{1/p} {( \int\limits_E (|f| + |g|)^{(p-1)q})}^{\frac1q} + {( \int\limits_E |g|^p )} ^{1/p} {( \int\limits_E (|f| + |g|)^{(p-1)q})}^{\frac1q}</tex>

Значит, <tex> ||\ cdot||_p </tex> — норма, <tex> L_p(E) </tex> — нормированное пространство, можно определить предел и т.д. 

Примечание: У вдумчивого читателя уже давно должен был возникнуть вопрос — почему <tex> p \ge 1 </tex>?Тогда не будет работать неравенство Минковского, но нет гарантий, что в этом случае нельзя доказать требуемое как-нибудь еще. Ответ получат только те, кто доживет до третьего курса. Там мы покажем, что при <tex> p < 1 L_p(E)</tex> — ТВП(топологическое векторное пространство), но локально выпуклым не является, поэтому там нельзя построить нетривиальный линейный функционал.

<tex> L_pИначе говоря, следует ли в этом пространстве обычная сходимость (E) </tex> — все равно линейное множество. Надо определить предельный переход не с помощью нормы.(как — третий курспределом, принадлежащим пространству)из сходимости в себе?

Так как<tex> L_p(E) ||f_n - f_m||_p \le ||f_n - f||_p + ||f_m - f||_p </tex> тогда будет ТВП({{TODO|t=чё??}}), но не будет локально выпуклым, следовательно, не построим тривиальной линейной функции2.то

<tex> ||f_n - f_m||_p \xrightarrow[nПрежде чем выяснить ответ на этот вопрос,m \to \infty]{} 0 \stackrel{?}{\Rightarrow} f \in L_p(E): f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n </tex>. Обратное всегда вернопосмотрим, что происходит с интегралом Римана:<tex> ||f_n - f_m||_p \le ||f_n - f||_p + ||f_m - f||_p </tex>

Пусть <tex> f_n E = [a, b], \to f \Rightarrow f_n - f_m \to 0 lambda </tex> — сходимость в себемера Лебега на <tex> E </tex>.

Даже если <tex> E = [af_n \in \tilde{L_p}, \int\limits_a^b], |f_n - f_m|^p dx \lambda to 0 </tex> — мера Лебега на , может не найтись предела <tex> E f_n </tex>.{{TODO|t=А ДОКАЗАТЬ???}}

<tex> \int\limits_a^b f(x) dx </tex> — Риман <tex> \int\limits_{[a, b]} f d \lambda </tex> — Лебег. <tex> \tilde{L_p}(a, b) = \{ f: [a, b] \to \mathbb R : \int\limits_a^b |f|^p dx < + \infty \} </tex> Нормированное пространство, но оно не будет полным. <tex> f_n \in \tilde{L_p}, \int\limits_a^b |f_n - f_m|^p dx \to 0 </tex> Может не найтись интеграла по Риману функции, которая будет пределом <tex> f_n </tex>. Именно поэтому потребовалось распространение интеграла Римана на функции, суммируемые по Лебегу.

<tex> \forall L_p(E) </tex> — полное.

По условию теоремы, <tex> \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu \to 0 </tex> по условию теоремы.

<tex> E_{n, m} (\delta) = E(|f_n(x) - f_m(x)| \ge \delta) </tex> — часть <tex> E </tex>, поэтому <tex> \int\limits_{E_{n,m}(\delta)} |f_n - f_m|^p \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p </tex>.

<tex> f_n - f_m \Rightarrow 0, </tex> при <tex> n, m \to \infty </tex>.

По лемме, которая перед теоремой Риса, утверждалось, что можно выделить <tex> f_{n_k} </tex>, почти везде стремящуюся сходящуюся к <tex> f </tex>. Установим с помощью теоремы Фату, что это — требуемая предельная функция <tex> f </tex> в <tex> L_p </tex> для <tex> E_n E</tex>.

<tex> ||f_n - f_m||_p \to 0 </tex>, следовательно,<tex> \forall \varepsilon > 0 \ \exists N: \forall n,m > N: \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu < \varepsilon^p </tex>

Итак, <tex> {\left(\int\limits_E |f - f_m|^p \right)}^{1/p} < \varepsilon, </tex> при <tex> m > N </tex>.

Отсюда, <tex> f - f_m \in L_p(E) </tex>.

Но <tex> f = (f - f_m) + f_m </tex> и , по линейности , <tex> f \in L_p(E </tex>). Тогда неравенство можно переписать: <tex> ||f_m - f||_p < \varepsilon \ \forall m > N </tex>. Тогда по определению <tex> f = \lim\limits_{m \to \infty} f_m </tex>, полнота доказана.

Примечание: на этапе выделения подпоследовательности <tex> f_{n_k} \to </tex>, стремящейся к <tex> f </tex> — измеримая(WUT?) почти всюду, может получиться, что <tex> f </tex> — не интегрируема по Риману.