Пространство L p(E)

Эта статья находится в разработке!

[math] (X, \mathcal A, \mu) [/math]

[math] E \subset \mathcal A , p \ge 1 [/math]

[math] L_p(E) = \{f [/math] - измерима на [math] E, \int\limits_E {|f|}^p d \mu \lt + \infty \} [/math], то есть пространство функций, суммируемых с [math] p [/math]й степенью на [math] E [/math]. Измеримость [math] f [/math] на [math] E [/math] принципиальна, так как в общем случае из измеримости [math] |f|^p [/math] не вытекает измеримость [math] f [/math].

Видимо, пример:

[math] E_1 [/math] - не измеримо и содержится в [math] E [/math].

[math] f(x) = \begin{cases} 1, & x \in E \setminus E_1 \\ -1, & x \in E_1 \end{cases} [/math] — не измеримо на [math] E [/math].

[math] E(f(x) \le -1) = E_1 [/math] - нет TODO: что нет? o_O

[math] |f(x)| = 1 [/math] на [math] E [/math] — измерима. Из измеримости модуля не вытекает измеримость функции.

Проверим, что [math] L_p(E) [/math] — измеримое множество.

[math] \int\limits_E |f|^p, \int\limits_E |g|^p \lt + \infty [/math] — следует ли [math] \int\limits_E |\alpha f + \beta g|^p \lt + \infty [/math].

Достаточно(почему?) доказать, что [math] \int\limits_E |f + g|^p \lt + \infty [/math].

[math] |f + g|^p \le ( |f| + |g| )^p [/math]

[math] E_1 = E(|f| \le |g|) [/math]

[math] E_2 = E(|f| \gt |g|) [/math]

[math] E = E_1 \cup E_2 [/math]

[math] \int\limits_E |f + g|^p \le \int\limits_E (|f| + |g|)^p = \int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} \le \int\limits_{E_1} (2 |g|)^p + \int\limits_{E_2} (2 |f|)^p \le 2^p (\int\limits_{E_1} |f|^p + \int\limits_{E_2} |g|^p) \lt + \infty [/math] , что и требовалось доказать.

Превратим [math] L_p(E) [/math] в нормированное пространство:

[math] ||f||_p = \left( \int\limits_E |f|^p \right)^{1/p} [/math]

[math] ||f||_p = 0 \Leftrightarrow f = 0 [/math] — отождествление функции, совпадают почти всюду.

Свойства интеграла:

[math] ||\alpha f||_p = |\alpha| ||f||_p [/math]

[math] ||f + g||_p \le ||f||_p + ||g||_p [/math]

[math] {\left( \sum (a_i + b_i)^p \right)}^{1/p} \le {\left( \sum a_i^p \right)}^{1/p} + {\left( \sum b_i^p \right)}^{1/p} [/math] — неравенство Минковского. Такое же неравенство можно написать для интеграла и получить нужное.

[math] uv \le \frac1p u^p + \frac1q v^q, \frac1p + \frac1q = 1, p \ge 1, q \ge 1 [/math] — неравенство Юнга.

Подставим [math] u = \frac{|f|}{||f||_p}, v = \frac{|g|}{||g||_p} [/math]:

[math] \frac{|f| |g|}{||f||_p ||g||_q} \le \frac1p \frac{|f|^p}{||f||_p^p} + \frac1q \frac{|g|^q}{||g||_q^q} [/math]

Интегрируем это неравенство по [math] E [/math].

Так как [math] \frac{|f|^p}{||f||_p^p} [/math](аналогично, [math] g [/math] и [math] q [/math]), равны 1, получаем:

[math] \int\limits_E |f| |g| \le ||f||_p ||g||_q [/math] — неравенство Гёльдера.

[math] \int\limits_E {(|f| + |g|)}^p = \int\limits_E {(|f| + |g|)}^{p-1} |f| + \int\limits_E {(|f| + |g|)}^{p-1} |g| \le {( \int\limits_E |f|^p )} ^{1/p} {( \int\limits_E (|f| + |g|)^{WTF???} )}^{\frac1q} + [/math]

[math] q = \frac{p}{p-1} [/math], дальше арифметически получаем неравенство Минковского.

Значит, [math] ||\ ||_p [/math] — норма, [math] L_p(E) [/math] — нормированное пространство, можно определить предел и т.д.

Примечание: должен был возникнуть вопрос — почему p \ge 1?

\int\limits_E |f|^p d \mu < + \infty при 0 < p < 1.

Тогда не будет работать неравенство Минковского.

L_p(E) — все равно линейное множество. Надо определить предельный переход не с помощью нормы.(как — третий курс)

f_n \to f \stackerl[def]{\Leftrightarrow} \int\limits_E |f_n - f|^p d \mu \to 0

L_p(E) тогда будет ТВП( TODO: чё??), но не будет локально выпуклым, следовательно, не построим тривиальный линейный функционал.

Полнота нормированного пространства:

f_n \in L_p(E)

||f_n - f_m||_p \xrightarrow[n,m \to \infty]{} 0 \stackrel{?}{\Rightarrow} f \in L_p(E): f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n.

Обратное всегда верно: ||f_n - f_m||_p \le ||f_n - f||_p ||f_m - f||_p

f_n \to f \Rightarrow f_n - f_m \to 0 — сходимость в себе.

R = [a, b], \lambda — мера Лебега на E.

\int\limits_a^b f(x) dx — Риман

\int\limits_{[a, b]} f d \lambda — Лебег.

\tilda{L_p}(a, b) = \{ f: [a, b] \to \mathbb R : \int\limits_a^b |f|^p dx < + \infty \}

Нормированное пространство, но оно не будет полным.

f_n \in \tilda{L_p}, \int\limits_a^b |f_n - f_m|^p dx \to 0

Может не найтись интеграла по Риману функции, которая будет пределом f_n. Именно поэтому потребовалось распространение интеграла Римана на функции, суммируемые по Лебегу.

{{Теорема |about= о полноте |statement= \forall L_p(E) — полное. |proof= \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu \to 0 по условию теоремы.

E_{n, m} (\delta) = E(|f_n(x) - f_m(x)| \ge \delta) — часть E.

\int\limits_{E_{n,m}(\delta)} |f_n - f_m|^p \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p

\delta^p \mu E_{n, m} (\delta) \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p \to 0, \delta — фиксирована.

Тогда \mu E(|f_n - f_m| \ge \delta) \to 0.

f_n = f_, \to 0, n, m \to \infty

По лемме, которая перед теоремой Риса, утверждалось, что можно выделить f_{n_k}, почти везде \to f. Установим с помощью теоремы Фату, что это — требуемая предельная функция f в L_p для E_n.

||f_n - f_m||_p \to 0

\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall n,m < N: \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu < \varepsilon^p

Фиксируем \forall m > N и будем вместо n подставлять n_k > N.

f_{n_k}(x) - f_m(x) \to f(x) - f_m(x)

По теореме Фату: \int\limits_E |f - f_m|^p \le \sum\limits_{k: n_k > N} \int\limits_E |f_{n_k} - f_m|^p < \varepsilon^p

Итак, {\left(\int\limits_E |f - f_m|^p \right)}^{1/p} < \varepsilon, m > N

Отсюда, f - f_m \in L_p(E)

f = (f - f_m) + f_m и по линейности f \in L_p(E). Тогда неравенство можно переписать: ||f_m - f||_p < \varepsilon \forall m > N. Тогда по определению f = \lim\limits_{m \to \infty} f_m, полнота доказана.

Примечание: на этапе выделения f_{n_k} \to f — измеримая может получиться, что f — не интегрируема по Риману.