Изменения
→Теорема о существовании бесконечного числа простых чисел
Рассмотрим множество <tex>M</tex>, состоящее из натуральных, отличных от <tex>1</tex>, делителей числа <tex>n</tex>. Множество <tex>M</tex> не пустое, так как <tex>n \in M</tex>. Значит, в множестве <tex>M</tex> существует наименьшее число <tex>q>1</tex>.
Пусть <tex>q</tex> не неЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 простое, тогда существует <tex>a</tex> такое, что <tex>1<a<q</tex> и <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>. (Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то существует такое натуральное число <tex>k</tex>, что <tex>n = k\,times q</tex>. Так как <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>, то существует такое натуральное число <tex>f</tex>, что <tex>q = f\,times a</tex>. Следовательно, существуют такие натуральные числа <tex>f</tex>, <tex>k</tex>, что <tex>q = k\,times f\,times a</tex>, т.е. <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>.) Значит, <tex>q</tex> не наименьшее число числоЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 в множестве <tex>M</tex>. Получили противоречие. Значит, <tex>q</tex> — простое число.
}}
Простых чисел бесконечно много.
|proof=
Представим, что количество простых чисел конечноЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook. net/readfic/9834408 Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.
}}
|id=th2
|statement=
Ряд <tex>\textstyle \sum_{}^{}frac\dfrac{1}{n}</tex> расходится.
|proof=
<tex>\sum_{n=1}^\infty\fracdfrac{1}{n} = \prod_{p} {(1 + \fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>, где <tex>p</tex> — простое. Таким образом, получаем все числа по одному разу после раскрытия скобок.
}}
Заметим для некоторого <tex>k</tex>: <tex>\sum_{p \le leqslant k}^{}{(1 + \fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots)} \ge \sum_{n \le leqslant k} \fracdfrac{1}{n}</tex>.
Теперь, пользуясь выражением <tex> \ln(1+x) \approx x + o(x) </tex> и логарифмируя, выводим:
<tex> \sum_{p} {\ln(1 + \fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots)} \approx \sum_{p} { (\fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots)} \le leqslant \fracdfrac{c}{p^2} </tex> — расходится.
==Теорема о расходимости ряда <tex>\sum_{}^{}\frac{1}{np}</tex>==
{{Теорема
|id=th3
|statement=
Ряд <tex>\sum_{}^{}\fracdfrac{1}{p}</tex>, где <tex>p</tex> — простое, расходится.
|proof=
Работая в условиях [[#th2|предыдущей теоремы]], продолжаем:
<tex> \ln(1+x) \le leqslant x</tex>, тогда <tex> \sum_{}^{} {\ln(1 + \fracdfrac{1}{p} + \cdots)} \le leqslant \sum_{}^{} {( \fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>.Финально: <tex> \sum_{}^{} \fracdfrac{1}{p} \ge geqslant \sum_{}^{} {[\ln(1 + \fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots) - \fracdfrac{c}{p^2}]} </tex> — расходится.
}}
* И. М. Виноградов. "Основы теории чисел" {{---}} c. 18 - 20.
[[Категория: Алгоритмы алгебры и теории Теория чисел]]
[[Категория: Классы чисел]]
