Изменения
Удалил ссылку на "лучший фанфик"
{{Утверждение
|about=свойство 1
|statement=Если <tex>p_1</tex>, <tex>p_2</tex> {{---}} различные простые числа, то <tex>p_2</tex> '''не [[Натуральные_и_целые_числаНатуральные числа#.D0.94.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB_.D1.81_.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B0.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.BCДеление чисел с остатком |делится без остатка]]''' на <tex>p_1</tex>.
|proof=
Натуральными делителями простого числа <tex>p_2</tex> являются только <tex>1</tex> и <tex>p_2</tex>. Простое число <tex>p_1 \neq 1</tex>, и <tex>p_1 \neq p_2</tex>. Значит, <tex>p_2</tex> не делится на <tex>p_1</tex>.
Рассмотрим множество <tex>M</tex>, состоящее из натуральных, отличных от <tex>1</tex>, делителей числа <tex>n</tex>. Множество <tex>M</tex> не пустое, так как <tex>n \in M</tex>. Значит, в множестве <tex>M</tex> существует наименьшее число <tex>q>1</tex>.
Пусть <tex>q</tex> не простое, тогда существует <tex>a</tex> такое, что <tex>1<a<q</tex> и <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>. (Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то существует такое натуральное число <tex>k</tex>, что <tex>n = k\,times q</tex>. Так как <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>, то существует такое натуральное число <tex>f</tex>, что <tex>q = f\,times a</tex>. Следовательно, существуют такие натуральные числа <tex>f</tex>, <tex>k</tex>, что <tex>q = k\,times f\,times a</tex>, т.е. <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>.) Значит, <tex>q</tex> не наименьшее число в множестве <tex>M</tex>. Получили противоречие. Значит, <tex>q</tex> — простое число.
}}
Последовательность простых чисел начинается так:
: <tex>2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, \ldots </tex>
==Теорема о существовании бесконечного числа простых чисел==
{{Теорема
|id=th1
|statement=
Простых чисел бесконечно много.
|proof=
Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.
}}
==Теорема о расходимости ряда <tex>\sum_{}\frac{1}{n}</tex>==
{{Теорема
|id=th2
|statement=
Ряд <tex>\sum_{}\dfrac{1}{n}</tex> расходится.
|proof=
<tex>\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n} = \prod_{p} {(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>, где <tex>p</tex> — простое. Таким образом, получаем все числа по одному разу после раскрытия скобок.
}}
Заметим для некоторого <tex>k</tex>: <tex>\sum_{p \leqslant k}^{}{(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)} \ge \sum_{n \leqslant k} \dfrac{1}{n}</tex>.
Теперь, пользуясь выражением <tex> \ln(1+x) \approx x + o(x) </tex> и логарифмируя, выводим:
<tex> \sum_{p} {\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)} \approx \sum_{p} { (\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)} \leqslant \dfrac{c}{p^2} </tex> — расходится.
==Теорема о расходимости ряда <tex>\sum_{}^{}\frac{1}{p}</tex>==
{{Теорема
|id=th3
|statement=
Ряд <tex>\sum_{}^{}\dfrac{1}{p}</tex>, где <tex>p</tex> — простое, расходится.
|proof=
Работая в условиях [[#th2|предыдущей теоремы]], продолжаем:
<tex> \ln(1+x) \leqslant x</tex>, тогда <tex> \sum_{}^{} {\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \cdots)} \leqslant \sum_{}^{} {( \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>.
Финально: <tex> \sum_{}^{} \dfrac{1}{p} \geqslant \sum_{}^{} {[\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots) - \dfrac{c}{p^2}]} </tex> — расходится.
}}
==См. также==
* [[Натуральные и целые числа]]
* [[Основная теорема арифметики]]
* [[Теоремы о простых числах]]
* И. М. Виноградов. "Основы теории чисел" {{---}} c. 18 - 20.
[[Категория: Алгоритмы алгебры и теории Теория чисел]]
[[Категория: Классы чисел]]
