Изменения

Пусть <tex>q</tex> не простое, тогда существует <tex>a</tex> такое, что <tex>1<a<q</tex> и <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>. (Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то существует такое натуральное число <tex>k</tex>, что <tex>n = k\,times q</tex>. Так как <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>, то существует такое натуральное число <tex>f</tex>, что <tex>q = f\,times a</tex>. Следовательно, существуют такие натуральные числа <tex>f</tex>, <tex>k</tex>, что <tex>q = k\,times f\,times a</tex>, т.е. <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>.) Значит, <tex>q</tex> не наименьшее число в множестве <tex>M</tex>. Получили противоречие. Значит, <tex>q</tex> — простое число.

Ряд <tex>\sum_{}\fracdfrac{1}{n}</tex> расходится.

<tex>\sum_{n=1}^\infty\fracdfrac{1}{n} = \prod_{p} {(1 + \fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>, где <tex>p</tex> — простое. Таким образом, получаем все числа по одному разу после раскрытия скобок.

Заметим для некоторого <tex>k</tex>: <tex>\sum_{p \le leqslant k}^{}{(1 + \fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots)} \ge \sum_{n \le leqslant k} \fracdfrac{1}{n}</tex>.

<tex> \sum_{p} {\ln(1 + \fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots)} \approx \sum_{p} { (\fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots)} \le leqslant \fracdfrac{c}{p^2} </tex> — расходится.

==Теорема о расходимости ряда <tex>\sum_{}^{}\frac{1}{np}</tex>==

Ряд <tex>\sum_{}^{}\fracdfrac{1}{p}</tex>, где <tex>p</tex> — простое, расходится.

<tex> \ln(1+x) \le leqslant x</tex>, тогда <tex> \sum_{}^{} {\ln(1 + \fracdfrac{1}{p} + \cdots)} \le leqslant \sum_{}^{} {( \fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>.Финально: <tex> \sum_{}^{} \fracdfrac{1}{p} \ge geqslant \sum_{}^{} {[\ln(1 + \fracdfrac{1}{p} + \fracdfrac{1}{p^2} + \cdots) - \fracdfrac{c}{p^2}]} </tex> — расходится.

[[Категория: Алгоритмы алгебры и теории Теория чисел]]