Изменения
→Описание протокола
==Описание протокола==
Рассмотрим множество <tex>S \subseteq \left\{ 0, 1 \right\} ^m</tex>, для которого существует сертификат проверки на принадлежность. Протоколом ГолдвассераГолдвассер-Сипсера является двухуровневый [[Интерактивные протоколы. Класс IP. Класс AM| интерактивный протокол]], в котором <tex>V</tex> старается принять множество <tex>S</tex>, если <tex>|S| \ge K</tex>, и отвергнуть, если <tex>|S| \le \frac{K}{2}</tex>.
Выберем <tex>k</tex> так, чтобы <tex>2^{k - 2} \le K \le 2^{k - 1}</tex>. Тогда протокол устроен следующим образом:
<tex>V:</tex> Отправляет <tex>P</tex>, случайным образом выбиранные выбранные <tex>h : \left\{ 0, 1 \right\} ^ m \rightarrow \left\{ 0, 1 \right\} ^ k</tex> из [[Семейство универсальных попарно независимых хеш-функций| семейства универсальных попарно независимых хеш-функций]] <tex>H_{m, k}</tex> и <tex>y</tex> из <tex>\left\{ 0, 1 \right\} ^ k</tex>.
<tex>P:</tex> Пытается найти <tex>x \in S</tex>, такой что <tex>h(x) = y</tex>. Отправляет <tex>V</tex> найденный <tex>x</tex> и сертификат <tex>c</tex>, подтверждающий принадлежность <tex>x</tex> множеству <tex>S</tex>.
Для каждого <tex>x \in S</tex> определим [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|событие]] <tex>E_x = \left\{h \in H_{m, k} \bigm| h(x) = y\right\}</tex>. Тогда <tex>P[\exists x \in S \bigm| h(x) = y] = P[\bigcup \limits_{x \in S}E_x]</tex>, что [[Формула включения-исключения | формуле включения-исключения]] не меньше, чем <tex>\sum \limits_{x \in S}P[E_x] - \sum\limits_{x_1 \ne x_2 \in S}P[E_{x_1} \cap E_{x_2}]</tex>. Поскольку выбирались <tex>h \in H_{m, k}</tex>, то <tex>P[E_x] = \frac{1}{2^k}</tex> и <tex>P[E_{x_1} \cap E_{x_2}] = \frac{1}{2^{2k}}</tex>. Тогда <tex>P[\bigcup \limits_{x \in S}E_x] \ge \frac{|S|}{2^k} - \frac{1}{2}\cdot\frac{|S|^2}{2^{2k}} \ge \frac{3}{4}\cdot\frac{|S|}{2^k} \ge \frac{3}{4}p</tex>.
}}
Стоит отметить, что если <tex>|S| > 2^{k - 1}</tex>, то <tex>P</tex> может выбрать <tex>C \subseteq S</tex> так, чтобы <tex>K \le |C| \le 2^{k - 1}</tex>. А значит, в качестве нижней оценки вероятности <tex>P[\exists x \in S \bigm| h(x) = y]</tex> в этом случае можно воспользоваться использовать <tex>\frac{3}{4}p</tex>.
Итого:
# если <tex>|S| \le \frac{K}{2}</tex>, то <tex>P[V(|S| \ge K) = 1] \le \frac{p}{2}</tex>.# если <tex>|S| \ge K</tex>, то <tex>P[V(|S| \ge K) = 1] \ge \frac{3}{4}p</tex>.
==Источники==
