1
правка
Изменения
→Теорема Каратеодори
[[Мера, порожденная внешней мерой|<<]] [[Объём n-мерного прямоугольника|>>]]
Мы уже построили по мере на полукольце множеств внешнюю меру, а по ней - меру на σ-алгебре. Следующая теорема показывает, что при ее сужении на то полукольцо мы получим исходную меру.
Воспользуемся тем, что <tex>\mu^*</tex> порождена <tex>m</tex>:
<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists A_1, A_2 \ldots A_n \ldots \in \mathcal{R} : E \subset \bigcup\limits_j A_j,\ \sum\limits_j mA_j < \mu E ^∗E + \varepsilon</tex>
Пересекаем это включение с <tex>A</tex>
}}
===Полнота===
{{Утверждение
|about=полнота|statement=Подмножество нульмерного множества само измеримо и нульмерно.
|proof=
Пусть <tex>A\subsetin \mathcal{A}</tex>, <tex>\mu A = 0</tex>, <tex>B\subset A</tex>, <tex>\forall E\subset X</tex>
Проверим, что <tex>\mu^*E\geq \mu^*(E\cap B) - + \mu^*(E\cap\bar B)</tex>
<tex>E\cap B \in \mathcal{subset A}</tex>
Тогда, по монотонности внешней меры, <tex>\mu^*(E\cap B) \leq \mu^*A \leq = \mu A = 0</tex>
<tex>E \cap\bar B \subset E</tex>, <tex>\mu^*(E\cap\bar B) \leq \mu^*E</tex>
Значит, неравенство выполняется. Значит, <tex>B\subset in \mathcal A</tex>, то есть измеримо.
По монотонности меры, <tex>\mu B \leq \mu A</tex>. <tex>\mu A = 0 \Rightarrow \mu B = 0</tex>.
}}
Можно считать, что распространение <tex>m</tex> с <tex>\mathcal{R}</tex> на <tex>\sigma</tex>-алгебру приводит к полной мере.
===Непрерывность(???)===
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>E \subset X</tex>; <tex>A\subset E\subset B</tex>, <tex>A, B</tex> {{---}} <tex>\mu</tex>-измеримы, <tex>\mu(B\setminus A) = 0</tex>. Тогда <tex>E \in \mathcal{A}</tex>
====Следствие====
{{Утверждение
|about=Критерий <tex>\mu^*</tex>-измеримости|statement=Пусть <tex>E\subset X</tex>. Тогда <tex>E</tex> — <tex>\mu^*</tex>-измеримо <tex>\iff</tex> <tex>\forall\varepsilon > 0</tex> <tex> \exists (A_\varepsilon, B_\varepsilon), A_\varepsilon, B_\varepsilon\in\mathcal{A} : A_\varepsilon \subset E \subset B_\varepsilon : \mu(B_\varepsilon\setminus A_\varepsilon) < \varepsilon</tex>
|proof=Возьмём <tex>\varepsilon_n = \frac1n</tex>, <tex>A_n = A_{\varepsilon_n}</tex>, <tex>B_n = B_{\varepsilon_n}</tex>
<tex>A = \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} A_n</tex>, <tex>B = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} B_n</tex>
Так как <tex>A_n \subset E \subset B_n</tex>, то <tex>A \subset E \subset B</tex>.
<tex>n \to \infty \Rightarrow \mu(B\setminus A) = 0</tex>
Мы нашли пару измеримых множеств, между которыми вставлено <tex>E</tex>. <tex>\mu(B\setminus A) = 0</tex>. Значит, по предыдущим фактамнепрерывности <tex> \mu </tex>, утверждение верно.
Обратное верно, так как можно взять <tex>A=B=E</tex>.
}}
==Процесс Каратеодори==
Забавно: <tex>m, \mathcal{R} \to \mu^* \to \mu, \mathcal{A} \to \nu^*</tex>.
Построим <tex>\nu^*</tex> {{---}} внешняя мера для <tex>\mu, \mathcal{A}</tex> (<tex>\sigma</tex>-алгебра {{---}} частный случай полукольца).
{{Теорема
|statement=<tex>\mu^*=\nu^*</tex> (повторное применение процесса Каратеодори к новому распространению не приводитнас к новой мере).
|proof=
<tex>\mu^*</tex> строилось на базе покрытий из <tex>\mathcal{R}</tex>, <tex>\mathcal{R} \in subset \mathcal{A}</tex>.
<tex>\nu^*</tex> строится на базе покрытий из <tex>\mathcal{A}</tex>. Это значит, что покрытий стало больше, то есть,
Осталось доказать, что <tex>\mu^* E \leq \nu^* E</tex>
Если новая мера бесконечна, то неравенство очевидно. Пусть тогда Тогда, пусть она конечна.
Раз она порождена <tex>\mu</tex>, <tex>\forall \varepsilon\exists</tex> есть система измеримых множеств <tex>B_1, B_2, \ldots, B_n, \ldots \in \mathcal{A}</tex>, <tex>E\subset\bigcup\limits_nB_n</tex>,
<tex>\sum\limits_n\mu B_n < \nu^*E+\varepsilon</tex>
Отсюда, в частности, получается, что <tex>E \subset \bigcup\limits_n B_n \subset \bigcup\limits_n \bigcup\limits_j A_{nj}</tex>
<tex>\sum\limits_n\mu B_n < \nu^*E + \varepsilon</tex>. Заменяя каждое слагаемое ряда меньшей величиной, получаем:
<tex>\sum\limits_n\left(\sum\limits_jmA_{nj} - \frac\varepsilon{2^n} \right) < \nu^* E + \varepsilon</tex>
<tex>E \subset \bigcup\limits_n\bigcup\limits_j A_{nj}</tex>, <tex>\mu^*E \leq \sum\limits_n\sum\limits_j mA_{nj}</tex> (по определению <tex>\mu^*</tex>).
Сопоставляя с предыдущим неравенством, <tex>\mu^*E < \le \nu^* E + 2\varepsilon</tex>
Устремляя <tex>\varepsilon</tex> к нулю, побеждаем.
}}
[[Мера, порожденная внешней мерой|<<]] [[Объём n-мерного прямоугольника|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
