Редактирование: Прямая сумма матроидов

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 29: Строка 29:
  
 
==Пример разложения матроида в прямую сумму==
 
==Пример разложения матроида в прямую сумму==
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
Пусть <tex>X</tex> {{---}} множество элементов, каждый из которых раскрашен в некоторый цвет. Множество <tex>A \in I</tex>, если все элементы множества <tex>A</tex> разного цвета. Тогда <tex> M = \langle X, I\rangle</tex> называется '''разноцветным матроидом''' (англ. ''multicolored matroid'').
 +
}}
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement = [[Примеры матроидов#def1|Разноцветный матроид]] <tex> M = \langle X, I\rangle</tex> можно представить в виде прямой суммы [[Примеры матроидов#def2|универсальных матроидов]].
+
|statement = Разноцветный матроид является матроидом.
 +
|proof =
 +
Докажем аксиомы независимости для <tex> I </tex>.
 +
 
 +
1. <tex>\varnothing \in I</tex>
 +
 
 +
В пустом множестве нет элементов <tex>\Rightarrow</tex> можем считать, что все элементы различных цветов.
 +
 
 +
2. <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
 +
 
 +
Если в <tex>B</tex> все элементы разного цвета, то и в <tex>A \subset B</tex> это будет выполняться.
 +
 
 +
3. <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
 +
 
 +
В каждом из множеств <tex>A</tex> и <tex>B</tex> все элементы разных цветов. Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert</tex>, значит в <tex>B</tex> есть хотя бы один элемент <tex>x</tex> такого цвета, которого нет среди элементов множества <tex>A</tex>, таким образом <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
 +
 
 +
}}
 +
{{Утверждение
 +
|statement = Разноцветный матроид <tex> M = \langle X, I\rangle</tex> можно представить в виде прямой суммы универсальных матроидов.
 
|proof =
 
|proof =
 
Занумеруем все цвета элементов в множестве <tex>X</tex> от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>.
 
Занумеруем все цвета элементов в множестве <tex>X</tex> от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>.

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)