Редактирование: Прямая сумма матроидов

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
==Прямая сумма матроидов==
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =  
 
|definition =  
Пусть <tex>M_1 = \langle X_1, I_1 \rangle </tex> и <tex> M_2 = \langle X_2, I_2 \rangle </tex> — матроиды с непересекающимися носителями (<tex>X_1 \cap X_2 = \varnothing</tex>) и <tex>X = X_1 \cup X_2, \ I = \{ A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2  \}</tex>, тогда <tex> M_1 \oplus M_2 = \langle X, I\rangle</tex> называется '''прямой суммой матроидов'''.
+
<tex>M_1 = \langle X_1, I_1 \rangle </tex> и <tex> M_2 = \langle X_2, I_2 \rangle </tex> — матроиды. Тогда <tex> M_1 \oplus M_2 = \langle X = X_1 \times \mathcal {f} 1 \mathcal {g} \cup X_2 \times \mathcal {f} 2 \mathcal {g}, I = \mathcal {f} A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2  \mathcal {g} \rangle </tex>
 
}}
 
}}
{{Утверждение
+
{{Лемма
 
|statement = Прямая сумма матроидов является матроидом.
 
|statement = Прямая сумма матроидов является матроидом.
 
|proof =
 
|proof =
Строка 11: Строка 10:
 
1. <tex>\varnothing \in I</tex>
 
1. <tex>\varnothing \in I</tex>
  
<tex> A_1 = \varnothing \in I_1, \ A_2 = \varnothing \in I_2 \Rightarrow A_1 \cup A_2 = \varnothing \in I </tex>
+
<tex> A_1 = \varnothing \in I_1, A_2 = \varnothing \in I_2 \Rightarrow A_1 \cup A_2 = \varnothing \in I </tex>
  
2. <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
+
2. <tex>A \subset B, B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
  
Пусть <tex>B = B_1 \cup B_2, \ B_1 \in I_1, \ B_2 \in I_2</tex>, а <tex>A = A_1 \cup A_2, \ A_1 \subset B_1, \ A_2 \subset B_2</tex>.
+
Пусть <tex>B = B_1 \cup B_2, B_1 \in I_1, B_2 \in I_2, A = A_1 \cup A_2, A_1 \subset B_1, A_2 \subset B_2</tex>. <tex>A_1 \subset B_1</tex>, значит по второй аксиоме для <tex>I_1</tex>, <tex>A_1 \in I_1</tex>. Аналогично <tex>A_2 \in I_2</tex>. Значит <tex>A_1 \cup A_2 \in I</tex>.
 
 
Так как <tex>A_1 \subset B_1 \Rightarrow A_1 \in I_1</tex> (по второй аксиоме для <tex>I_1</tex>). Аналогично <tex>A_2 \in I_2</tex>. Значит <tex>A_1 \cup A_2 \in I</tex>.
 
 
 
3. <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex>
 
 
 
Пусть <tex>A = A_1 \cup A_2</tex>, <tex>B = B_1 \cup B_2</tex>, тогда <tex>\left\vert A_1 \right\vert < \left\vert B_1 \right\vert </tex> или <tex>\left\vert A_2 \right\vert < \left\vert B_2 \right\vert </tex>.
 
 
 
В первом случае из третьей аксиомы для <tex> I_1 \Rightarrow \exists~ x \in B_1 \setminus A_1, \ A_1 \cup \{ x \} \in I_1 </tex>. Значит <tex> A_1 \cup \{ x \} \cup A_2 \in I</tex>.
 
 
 
Второй случай аналогичен первому.
 
}}
 
 
 
==Пример разложения матроида в прямую сумму==
 
{{Утверждение
 
|statement = [[Примеры матроидов#def1|Разноцветный матроид]] <tex> M = \langle X, I\rangle</tex> можно представить в виде прямой суммы [[Примеры матроидов#def2|универсальных матроидов]].
 
|proof =
 
Занумеруем все цвета элементов в множестве <tex>X</tex> от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>.
 
 
 
Пусть <tex>X_i = \mathcal{f} x \mid color(x) = i \mathcal {g}</tex>, <tex>I_i = \mathcal{f} A \subset X_i \mid \left\vert A \right\vert \leqslant 1 \mathcal {g}</tex>, где <tex>i = 1 \dots n</tex>, то есть в <tex>X</tex> элементы одного цвета, а независимыми являются множества, состоящие не более чем из <tex>1</tex>-ого элемента. Тогда <tex> M_i = \langle X_i, I_i\rangle</tex> является универсальным матроидом.
 
Таким образом, <tex>M = \bigoplus\limits_{i=1}^{n} M_i = \mathcal{f} X = \bigcup\limits_{i=_1}^n X_i, \ I = \bigcup\limits_{i=_1}^n A_i \mid A_i \in I_i \mathcal {g}</tex>.
 
  
 +
3. <tex>\mid A \mid < \mid B \mid \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
 +
Пусть <tex>A = A_1 \cup A_2</tex>, <tex>B = B_1 \cup B_2</tex>. Тогда <tex>\mid A_1 \mid < \mid B_1 \mid</tex> или <tex>\mid A_2 \mid < \mid B_2 \mid</tex>. В первом случае по третьей аксиоме для <tex> I_1</tex>, <tex>\mathcal {9} x \in B_1 \setminus A_1, A_1 \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I_1 </tex>. Значит <tex> A_1 \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \cup A_2 \in I</tex>. Второй случай аналогичен первому.
 
}}
 
}}
 
==См. также==
 
* [[Определение матроида]]
 
* [[Примеры матроидов]]
 
 
== Источники информации ==
 
 
*''Victor Reiner'' {{---}} Lecture on matroids and oriented matroids, p.18
 
*[[wikipedia:Matroid | Wikipedia {{---}} Matroid]]
 
 
 
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория:Матроиды]]
 
[[Категория:Основные факты теории матроидов]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)