Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Прямая сумма матроидов

1679 байт убрано, 18:36, 13 июня 2014
м
Нет описания правки
==Пример разложения матроида в прямую сумму==
{{Определение
|definition =
Пусть <tex>X</tex> {{---}} множество элементов, каждый из которых раскрашен в некоторый цвет. Множество <tex>A \in I</tex>, если все элементы множества <tex>A</tex> разного цвета. Тогда <tex> M = \langle X, I\rangle</tex> называется '''разноцветным матроидом''' (англ. ''multicolored matroid'').
}}
{{Утверждение
|statement = Разноцветный матроид является матроидом.|proof =Докажем аксиомы независимости для <tex> I </tex>. 1. <tex>\varnothing \in I</tex> В пустом множестве нет элементов <tex>\Rightarrow</tex> можем считать, что все элементы различных цветов. 2. <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex> Если в <tex>B</tex> все элементы разного цвета, то и в <tex>A \subset B</tex> это будет выполняться. 3. <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex> В каждом из множеств <tex>A</tex> и <tex>B</tex> все элементы разных цветов. Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert</tex>, значит в <tex>B</tex> есть хотя бы один элемент <tex>x</tex> такого цвета, которого нет среди элементов множества <tex>A</tex>, таким образом <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex> }}{{Утверждение[[Примеры матроидов#def1|statement = Разноцветный матроид ]] <tex> M = \langle X, I\rangle</tex> можно представить в виде прямой суммы [[Примеры матроидов#def2|универсальных матроидов]].
|proof =
Занумеруем все цвета элементов в множестве <tex>X</tex> от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>.
137
правок

Навигация