Прямая сумма матроидов — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 11 промежуточных версий 6 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
==Прямая сумма матроидов==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =  
 
|definition =  
<tex>M_1 = \langle X_1, I_1 \rangle </tex> и <tex> M_2 = \langle X_2, I_2 \rangle </tex> — матроиды. Тогда <tex> M_1 \oplus M_2 = \langle X = X_1 \times \mathcal {f} 1 \mathcal {g} \cup X_2 \times \mathcal {f} 2 \mathcal {g}, I = \mathcal {f} A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2  \mathcal {g} \rangle </tex>
+
Пусть <tex>M_1 = \langle X_1, I_1 \rangle </tex> и <tex> M_2 = \langle X_2, I_2 \rangle </tex> — матроиды с непересекающимися носителями (<tex>X_1 \cap X_2 = \varnothing</tex>) и <tex>X = X_1 \cup X_2, \ I = \{ A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2  \}</tex>, тогда <tex> M_1 \oplus M_2 = \langle X, I\rangle</tex> называется '''прямой суммой матроидов'''.
 
}}
 
}}
{{Лемма
+
{{Утверждение
 
|statement = Прямая сумма матроидов является матроидом.
 
|statement = Прямая сумма матроидов является матроидом.
 
|proof =
 
|proof =
Строка 10: Строка 11:
 
1. <tex>\varnothing \in I</tex>
 
1. <tex>\varnothing \in I</tex>
  
<tex> A_1 = \varnothing \in I_1, A_2 = \varnothing \in I_2 \Rightarrow A_1 \cup A_2 = \varnothing \in I </tex>
+
<tex> A_1 = \varnothing \in I_1, \ A_2 = \varnothing \in I_2 \Rightarrow A_1 \cup A_2 = \varnothing \in I </tex>
  
2. <tex>A \subset B, B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
+
2. <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
  
Пусть <tex>B = B_1 \cup B_2, B_1 \in I_1, B_2 \in I_2, A = A_1 \cup A_2, A_1 \subset B_1, A_2 \subset B_2</tex>. <tex>A_1 \subset B_1</tex>, значит по второй аксиоме для <tex>I_1</tex>, <tex>A_1 \in I_1</tex>. Аналогично <tex>A_2 \in I_2</tex>. Значит <tex>A_1 \cup A_2 \in I</tex>.
+
Пусть <tex>B = B_1 \cup B_2, \ B_1 \in I_1, \ B_2 \in I_2</tex>, а <tex>A = A_1 \cup A_2, \ A_1 \subset B_1, \ A_2 \subset B_2</tex>.
 +
 
 +
Так как <tex>A_1 \subset B_1 \Rightarrow A_1 \in I_1</tex> (по второй аксиоме для <tex>I_1</tex>). Аналогично <tex>A_2 \in I_2</tex>. Значит <tex>A_1 \cup A_2 \in I</tex>.
 +
 
 +
3. <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex>
 +
 
 +
Пусть <tex>A = A_1 \cup A_2</tex>, <tex>B = B_1 \cup B_2</tex>, тогда <tex>\left\vert A_1 \right\vert < \left\vert B_1 \right\vert </tex> или <tex>\left\vert A_2 \right\vert < \left\vert B_2 \right\vert </tex>.
 +
 
 +
В первом случае из третьей аксиомы для <tex> I_1 \Rightarrow \exists~ x \in B_1 \setminus A_1, \ A_1 \cup \{ x \} \in I_1 </tex>. Значит <tex> A_1 \cup \{ x \} \cup A_2 \in I</tex>.
 +
 
 +
Второй случай аналогичен первому.
 +
}}
 +
 
 +
==Пример разложения матроида в прямую сумму==
 +
{{Утверждение
 +
|statement = [[Примеры матроидов#def1|Разноцветный матроид]] <tex> M = \langle X, I\rangle</tex> можно представить в виде прямой суммы [[Примеры матроидов#def2|универсальных матроидов]].
 +
|proof =
 +
Занумеруем все цвета элементов в множестве <tex>X</tex> от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>.
 +
 
 +
Пусть <tex>X_i = \mathcal{f} x \mid color(x) = i \mathcal {g}</tex>, <tex>I_i = \mathcal{f} A \subset X_i \mid \left\vert A \right\vert \leqslant 1 \mathcal {g}</tex>, где <tex>i = 1 \dots n</tex>, то есть в <tex>X</tex> элементы одного цвета, а независимыми являются множества, состоящие не более чем из <tex>1</tex>-ого элемента. Тогда <tex> M_i = \langle X_i, I_i\rangle</tex> является универсальным матроидом.
 +
Таким образом, <tex>M = \bigoplus\limits_{i=1}^{n} M_i = \mathcal{f} X = \bigcup\limits_{i=_1}^n X_i, \ I = \bigcup\limits_{i=_1}^n A_i \mid A_i \in I_i \mathcal {g}</tex>.
  
3. <tex>\mid A \mid < \mid B \mid \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
 
Пусть <tex>A = A_1 \cup A_2</tex>, <tex>B = B_1 \cup B_2</tex>. Тогда <tex>\mid A_1 \mid < \mid B_1 \mid</tex> или <tex>\mid A_2 \mid < \mid B_2 \mid</tex>. В первом случае по третьей аксиоме для <tex> I_1</tex>, <tex>\mathcal {9} x \in B_1 \setminus A_1, A_1 \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I_1 </tex>. Значит <tex> A_1 \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \cup A_2 \in I</tex>. Второй случай аналогичен первому.
 
 
}}
 
}}
 +
 +
==См. также==
 +
* [[Определение матроида]]
 +
* [[Примеры матроидов]]
 +
 +
== Источники информации ==
 +
 +
*''Victor Reiner'' {{---}} Lecture on matroids and oriented matroids, p.18
 +
*[[wikipedia:Matroid | Wikipedia {{---}} Matroid]]
 +
 +
 +
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 +
[[Категория:Матроиды]]
 +
[[Категория:Основные факты теории матроидов]]

Текущая версия на 17:55, 17 октября 2018

Прямая сумма матроидов[править]

Определение:
Пусть [math]M_1 = \langle X_1, I_1 \rangle [/math] и [math] M_2 = \langle X_2, I_2 \rangle [/math] — матроиды с непересекающимися носителями ([math]X_1 \cap X_2 = \varnothing[/math]) и [math]X = X_1 \cup X_2, \ I = \{ A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2 \}[/math], тогда [math] M_1 \oplus M_2 = \langle X, I\rangle[/math] называется прямой суммой матроидов.
Утверждение:
Прямая сумма матроидов является матроидом.
[math]\triangleright[/math]

Докажем аксиомы независимости для [math] I [/math].

1. [math]\varnothing \in I[/math]

[math] A_1 = \varnothing \in I_1, \ A_2 = \varnothing \in I_2 \Rightarrow A_1 \cup A_2 = \varnothing \in I [/math]

2. [math]A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I[/math]

Пусть [math]B = B_1 \cup B_2, \ B_1 \in I_1, \ B_2 \in I_2[/math], а [math]A = A_1 \cup A_2, \ A_1 \subset B_1, \ A_2 \subset B_2[/math].

Так как [math]A_1 \subset B_1 \Rightarrow A_1 \in I_1[/math] (по второй аксиоме для [math]I_1[/math]). Аналогично [math]A_2 \in I_2[/math]. Значит [math]A_1 \cup A_2 \in I[/math].

3. [math]A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert \lt \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I[/math]

Пусть [math]A = A_1 \cup A_2[/math], [math]B = B_1 \cup B_2[/math], тогда [math]\left\vert A_1 \right\vert \lt \left\vert B_1 \right\vert [/math] или [math]\left\vert A_2 \right\vert \lt \left\vert B_2 \right\vert [/math].

В первом случае из третьей аксиомы для [math] I_1 \Rightarrow \exists~ x \in B_1 \setminus A_1, \ A_1 \cup \{ x \} \in I_1 [/math]. Значит [math] A_1 \cup \{ x \} \cup A_2 \in I[/math].

Второй случай аналогичен первому.
[math]\triangleleft[/math]

Пример разложения матроида в прямую сумму[править]

Утверждение:
Разноцветный матроид [math] M = \langle X, I\rangle[/math] можно представить в виде прямой суммы универсальных матроидов.
[math]\triangleright[/math]

Занумеруем все цвета элементов в множестве [math]X[/math] от [math]1[/math] до [math]n[/math].

Пусть [math]X_i = \mathcal{f} x \mid color(x) = i \mathcal {g}[/math], [math]I_i = \mathcal{f} A \subset X_i \mid \left\vert A \right\vert \leqslant 1 \mathcal {g}[/math], где [math]i = 1 \dots n[/math], то есть в [math]X[/math] элементы одного цвета, а независимыми являются множества, состоящие не более чем из [math]1[/math]-ого элемента. Тогда [math] M_i = \langle X_i, I_i\rangle[/math] является универсальным матроидом.

Таким образом, [math]M = \bigoplus\limits_{i=1}^{n} M_i = \mathcal{f} X = \bigcup\limits_{i=_1}^n X_i, \ I = \bigcup\limits_{i=_1}^n A_i \mid A_i \in I_i \mathcal {g}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

См. также[править]

Источники информации[править]