Изменения
→Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов
Признак равномерной сходимости несобственных интегралов
|statement=
Пусть $ |f(x, y) | \le g(x)\ \forall x \ge a, \forall y \in [c; d] $.
Пусть $ \int\limits_a^{\infty} g(x) dx $ - сходится. Тогда соответствующий интеграл равномерно сходится на $ [c; d] $.
}}
== Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра ==
Гамма-функция связана с обобщением факториала на $ \mathbb{R} $.
Поставим задачу: продолжить $ f(n) = n! $ на $ \mathbb{R}_+ $ так, чтобы $ f \in \mathbb{C}^{\infty} (\mathbb{R}_+) $(бесконечно дифференцируема штоле?) и $ f(n) = n! $.
Эта задача рещается решается Гамма-функцией.
Легко убедиться, что $ \Gamma(n + 1) = n! $:
Требуется проверить равномерную сходимость интеграла от частной производной.
Аналогично, при двойном дифференциировании дифференцировании получаются равномерно сходящиеся интегралы и т.д.
$ \Gamma''(a) = \int\limits_0^{\infty} \underbrace{\ln^2 x x^{a - 1} e^{-x}}_{>0} dx \Rightarrow \Gamma''(a) > 0 $
