Изменения

Пусть на <tex>E</tex> <tex>f_n</tex> обладает свойством <tex>P</tex>(например, непрерывность на <tex>E</tex>). И пусть для любого <tex>x \forall xin E </tex> есть сумма рядапредел соответствующей числовой последовательности. Возникает вопрос: "Будет ли <tex>f = \sum lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_n</tex> обладать свойством <tex>P</tex>?"

Приведем пример, показывающий, что если требовать лишь поточечной сходимости, то для <tex>\sum f_nf </tex>

[[file:picture1.png|300px]] Все <tex>f_n</tex> непрерывны на <tex>[0; 1]</tex>. <tex>f_n(0) = 1 \to 1</tex>, <tex>f(0) = 1</tex>. // ложь!!!1111!!!

<tex>\forall \varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in E : |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>

<tex>\forall\varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in E : |s_nS_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>

Далее всё будем писать на языке функциональных рядов, так как они их наиболее используемый аппарат удобно использовать в математическом анализе, и вообще это очень круто и популярно.

|statement=Ряд равномерно сходится на <tex>E</tex> <tex>\iff</tex> <tex>\forall\varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall m, n : m \geq n > N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| < \varepsilon</tex>

<tex>\sum\limits_{k = n}^m f_k = s_m S_m - s_S_{n - 1}</tex>

<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k \right| = |(s_m S_m - sS) - + (s S - s_S_{n - 1})|</tex>, где <tex>sS</tex> {{---}} сумма ряда. Тогда

<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \leq |s_m S_m - sS| + |s_S_{n - 1} - sS|</tex>

По определению равномерной сходимости, <tex>\forall \varepsilon\ \exists N\ \forall p > N\ \forall x \in E : |s_pS_p(x) - sS(x)| < \varepsilon</tex>.

<tex>m,n - 1 < > N </tex>

 <tex>\forall x \in E</tex> для <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n(x)</tex> выполняется критерий Коши сходиммости сходимости числовых рядов.

<tex>|s_mS_m(x) - s_S_{n - 1}(x)| \leq \varepsilon</tex>, но <tex>s_pS_p(x) \to sS(x)</tex>. В неравенстве с <tex>\varepsilon</tex> <tex>X</tex> можно подставлять любой фиксированный <tex>x</tex>. Устремим <tex>n m \to \infty</tex>: <tex>\forall m n > N\ \forall x \in E : |s_mS_n(x) - sS(x)| \leq \varepsilon</tex>

Существует простой признак для проверки равномерной сходимости(принак признак Вейерштрасса)

{{УтверждениеТеорема

<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex>, <tex>\forall n \in \mathbb{N} </tex>, <tex>\forall x \in E : |f_n(x)| \leq a_n</tex>, <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n</tex> {{---}} сходится.

<tex>\sum\limits_{k = n}^m a_k < +\infty \Rightarrow \forall\varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall m \geq n > N : \sum\limits_{k = n}^m a_k < \varepsilon</tex>

<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \leq < \varepsilon</tex>. Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится.}}== Признак Абеля-Дирихле =={{Теорема|author=Абель-Дирихле|statement=Для равномерной сходимости на множестве <tex>E</tex> ряда <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n(x) b_n(x)</tex> , <tex> a_n:E \to \mathbb C</tex> и <tex> b_n:E \to \mathbb R</tex> достаточно, чтобы выполнялась пара условий <tex> \forall x \in E </tex>: 1)Частичные суммы <tex> S_k(x)= \sum\limits_{n = 1}^k a_n(x) </tex> ряда <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n(x) </tex> равномерно ограничены на <tex>E</tex>; 2)Последовательность функций <tex>b_n(x)</tex> монотонна и равномерно сходится к нулю на <tex>E</tex>. |proof=  Монотонность последовательности <tex>b_n(x)</tex> позволяет при каждом <tex>x \in E</tex> записать оценку: <tex> |\sum\limits_{k = n}^m a_k(x) b_k(x)| \leq 4 max |A_k(x)| * max( |b_n(x)|, |b_m(x)| )</tex>  где <tex> n - 1 \leq k \leq m </tex> и в качестве <tex> A_k(x)</tex> возьмем <tex> S_k(x) - S_{n-1}(x) </tex> . Если выполнена пара условий 1) и 2), то с одной стороны существует такая постоянная <tex>M</tex>,что <tex>|A_k(x)| \leq M</tex> при любом <tex> k \in N </tex> и любом <tex>x \in E</tex>, а с другой стороны, какого бы ни было число <tex>\varepsilon > 0 </tex>, при всех достаточно больших значениях <tex>m</tex> и <tex>n</tex> и любом <tex> x\in E</tex> будет выполнено неравенство <tex> max( |b_n(x)|, |b_m(x)| ) < \frac{\varepsilon}{4M} </tex>. Значит, что при всех достаточно больших значениях <tex>m</tex> и <tex>n</tex> и любом <tex> x \in E </tex> будет <tex>|\sum\limits_{k = n}^m a_k(x) b_k(x)| < \varepsilon </tex>, т.е. для рассматриваемого ряда выполнен критерий Коши равномерной сходимости.