Изменения
→Признак Абеля-Дирихле
[[Определение функционального ряда|<<]] [[Операции анализа с функциональными рядами|>>]]
== Поточечная сходимость ==
То, как была определена сумма функционального ряда, не учитывает то, что функция {{---}} закон
0, & x \in (\frac1n; 1]\\
\end{cases}</tex>
[[file:picture1.png|300px]]
Все <tex>f_n</tex> непрерывны на <tex>[0; 1]</tex>. <tex>f_n(0) = 1 \to 1</tex>, <tex>f(0) = 1</tex>.
{{Теорема
|about=Критерий Коши равномерной сходимости
|statement=Ряд равномерно сходится на <tex>E</tex> <tex>\iff</tex> <tex>\forall\varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall m, n : m \geq n > N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| < \varepsilon</tex>
|proof=
<tex>\Longrightarrow</tex> Пусть ряд равномерно сходится.
Как и в первой половине доказательства,
<tex>|S_m(x) - S_{n - 1}(x)| \leq \varepsilon</tex>, но <tex>S_p(x) \to S(x)</tex>. В неравенстве с <tex>\varepsilon</tex> <tex>X</tex>
можно подставлять любой фиксированный <tex>x</tex>. Устремим <tex>m \to \infty</tex>: <tex>\forall n > N\ \forall x \in E : |S_n(x) - S(x)| \leq \varepsilon</tex>
|author=Вейерштрасс
|statement=
<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex>, <tex>\forall n \in \mathbb{N} </tex>, <tex>\forall x \in E : |f_n(x)| \leq a_n</tex>, <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n</tex> {{---}} сходится.
Тогда <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex> равномерно сходится на <tex>E</tex>.
|proof=
<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| < \varepsilon</tex>. Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится.
}}
== Признак Абеля-Дирихле ==
{{Теорема
|author=Абель-Дирихле
|statement=Для равномерной сходимости на множестве <tex>E</tex> ряда <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n(x) b_n(x)</tex> , <tex> a_n:E \to \mathbb C</tex> и <tex> b_n:E \to \mathbb R</tex> достаточно, чтобы выполнялась пара условий <tex> \forall x \in E </tex>:
1)Частичные суммы <tex> S_k(x)= \sum\limits_{n = 1}^k a_n(x) </tex> ряда <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n(x) </tex> равномерно ограничены на <tex>E</tex>;
2)Последовательность функций <tex>b_n(x)</tex> монотонна и равномерно сходится к нулю на <tex>E</tex>.
|proof=
Монотонность последовательности <tex>b_n(x)</tex> позволяет при каждом <tex>x \in E</tex> записать оценку:
<tex> |\sum\limits_{k = n}^m a_k(x) b_k(x)| \leq 4 max |A_k(x)| * max( |b_n(x)|, |b_m(x)| )</tex>
где <tex> n - 1 \leq k \leq m </tex> и в качестве <tex> A_k(x)</tex> возьмем <tex> S_k(x) - S_{n-1}(x) </tex> .
Если выполнена пара условий 1) и 2), то с одной стороны существует такая постоянная <tex>M</tex>,что <tex>|A_k(x)| \leq M</tex> при любом <tex> k \in N </tex> и любом <tex>x \in E</tex>, а с другой стороны, какого бы ни было число <tex>\varepsilon > 0 </tex>, при всех достаточно больших значениях <tex>m</tex> и <tex>n</tex> и любом <tex> x\in E</tex> будет выполнено неравенство <tex> max( |b_n(x)|, |b_m(x)| ) < \frac{\varepsilon}{4M} </tex>. Значит, что при всех достаточно больших значениях <tex>m</tex> и <tex>n</tex> и любом <tex> x \in E </tex> будет <tex>|\sum\limits_{k = n}^m a_k(x) b_k(x)| < \varepsilon </tex>, т.е. для рассматриваемого ряда выполнен критерий Коши равномерной сходимости.
}}
[[Определение функционального ряда|<<]] [[Операции анализа с функциональными рядами|>>]]
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
