Равномерная сходимость функционального ряда — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Поточечная сходимость)
(Признак Абеля-Дирихле)
 
(не показано 20 промежуточных версий 7 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
[[Определение функционального ряда|<<]] [[Операции анализа с функциональными рядами|>>]]
 
== Поточечная сходимость ==
 
== Поточечная сходимость ==
 
То, как была определена сумма функционального ряда, не учитывает то, что функция {{---}} закон
 
То, как была определена сумма функционального ряда, не учитывает то, что функция {{---}} закон
Строка 4: Строка 5:
 
изолированно.
 
изолированно.
  
Пусть на <tex>E</tex> <tex>f_n</tex> обладает свойством <tex>P</tex>(например, непрерывность на <tex>E</tex>). И пусть <tex>\forall x</tex> есть  
+
Пусть на <tex>E</tex> <tex>f_n</tex> обладает свойством <tex>P</tex>(например, непрерывность на <tex>E</tex>). И пусть для любого <tex> x \in E </tex> есть предел соответствующей числовой последовательности. Возникает вопрос: "Будет ли <tex>f = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_n</tex> обладать свойством <tex>P</tex>?"
сумма ряда. Возникает вопрос: "Будет ли <tex>f = \sum f_n</tex> обладать свойством <tex>P</tex>?"
 
  
Приведем пример, показывающий, что если требовать лишь поточечной сходимости, то для <tex>\sum f_n</tex>  
+
Приведем пример, показывающий, что если требовать лишь поточечной сходимости, то для <tex> f </tex>  
 
свойство <tex>P</tex> может отсутствовать.
 
свойство <tex>P</tex> может отсутствовать.
  
Строка 14: Строка 14:
 
0, & x \in (\frac1n; 1]\\
 
0, & x \in (\frac1n; 1]\\
 
\end{cases}</tex>
 
\end{cases}</tex>
 +
 +
[[file:picture1.png|300px]]
  
 
Все <tex>f_n</tex> непрерывны на <tex>[0; 1]</tex>. <tex>f_n(0) = 1 \to 1</tex>, <tex>f(0) = 1</tex>.
 
Все <tex>f_n</tex> непрерывны на <tex>[0; 1]</tex>. <tex>f_n(0) = 1 \to 1</tex>, <tex>f(0) = 1</tex>.
Строка 30: Строка 32:
 
|definition=
 
|definition=
 
<tex>f_1, f_2, \ldots</tex> равномерно сходится к <tex>f(x)</tex>, если  
 
<tex>f_1, f_2, \ldots</tex> равномерно сходится к <tex>f(x)</tex>, если  
<tex>\forall \varepsilon\ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in E : |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>
+
<tex>\forall \varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in E : |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>
 
Пишут, что <tex>f_n \rightrightarrows f</tex>.
 
Пишут, что <tex>f_n \rightrightarrows f</tex>.
 
}}
 
}}
Строка 38: Строка 40:
 
Пусть на <tex>E</tex> задан функциональный ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex>. Тогда он равномерно сходится к
 
Пусть на <tex>E</tex> задан функциональный ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex>. Тогда он равномерно сходится к
 
<tex>f = \sum f_n</tex>, если
 
<tex>f = \sum f_n</tex>, если
<tex>\forall\varepsilon\ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in E : |s_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>
+
<tex>\forall\varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in E : |S_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>
 
}}
 
}}
  
Далее всё будем писать на языке функциональных рядов, так как они наиболее используемый аппарат в  
+
Далее всё будем писать на языке функциональных рядов, так как их наиболее удобно использовать в  
математическом анализе.
+
математическом анализе, и вообще это очень круто и популярно.
  
 
== Критерий Коши равномерной сходимости ==
 
== Критерий Коши равномерной сходимости ==
Строка 48: Строка 50:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|about=Критерий Коши равномерной сходимости
 
|about=Критерий Коши равномерной сходимости
|statement=Ряд равномерно сходится на <tex>E</tex> <tex>\iff</tex> <tex>\forall\varepsilon\ \exists N\ \forall m \geq n > N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| < \varepsilon</tex>  
+
|statement=Ряд равномерно сходится на <tex>E</tex> <tex>\iff</tex> <tex>\forall\varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall m, n : m \geq n > N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| < \varepsilon</tex>  
 
|proof=
 
|proof=
 
<tex>\Longrightarrow</tex> Пусть ряд равномерно сходится.
 
<tex>\Longrightarrow</tex> Пусть ряд равномерно сходится.
  
<tex>\sum\limits_{k = n}^m f_k = s_m - s_{n - 1}</tex>
+
<tex>\sum\limits_{k = n}^m f_k = S_m - S_{n - 1}</tex>
  
<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m \right| = |(s_m - s) - (s - s_{n - 1})|</tex>, где <tex>s</tex> {{---}} сумма ряда. Тогда
+
<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k \right| = |(S_m - S) + (S - S_{n - 1})|</tex>, где <tex>S</tex> {{---}} сумма ряда. Тогда
  
<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \leq |s_m - s| + |s_{n - 1} - s|</tex>
+
<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \leq |S_m - S| + |S_{n - 1} - S|</tex>
  
По определению равномерной сходимости, <tex>\forall \varepsilon\ \exists N\ \forall p > N\ \forall x \in E : |s_p(x) - s(x)| < \varepsilon</tex>.
+
По определению равномерной сходимости, <tex>\forall \varepsilon\ \exists N\ \forall p > N\ \forall x \in E : |S_p(x) - S(x)| < \varepsilon</tex>.
  
<tex>m,n - 1 < N </tex>
+
<tex>m, n - 1 > N </tex>
  
 
В силу предыдущего неравенства, <tex>\forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \leq 2\varepsilon</tex>, то есть,  
 
В силу предыдущего неравенства, <tex>\forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \leq 2\varepsilon</tex>, то есть,  
Строка 67: Строка 69:
  
 
<tex>\Longleftarrow</tex> Пусть выполняется условие критерия Коши.
 
<tex>\Longleftarrow</tex> Пусть выполняется условие критерия Коши.
<tex>\forall x \in E</tex> для <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n(x)</tex> выполняется критерий Коши сходиммости числовых рядов.  
+
 
 +
<tex>\forall x \in E</tex> для <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n(x)</tex> выполняется критерий Коши сходимости числовых рядов.  
 
Значит, этот ряд сходится. На всем <tex>E</tex> определена его сумма. Осталось установить равномерную сходимость ряда.
 
Значит, этот ряд сходится. На всем <tex>E</tex> определена его сумма. Осталось установить равномерную сходимость ряда.
  
Строка 73: Строка 76:
  
 
Как и в первой половине доказательства,  
 
Как и в первой половине доказательства,  
<tex>|s_m(x) - s_{n - 1}(x)| \leq \varepsilon</tex>, но <tex>s_p(x) \to s(x)</tex>. В неравенстве с <tex>\varepsilon</tex> <tex>X</tex>  
+
<tex>|S_m(x) - S_{n - 1}(x)| \leq \varepsilon</tex>, но <tex>S_p(x) \to S(x)</tex>. В неравенстве с <tex>\varepsilon</tex>  
можно подставлять любой фиксированный <tex>x</tex>. Устремим <tex>n \to \infty</tex>: <tex>\forall m > N\ \forall x \in E : |s_m(x) - s(x)| \leq \varepsilon</tex>
+
можно подставлять любой фиксированный <tex>x</tex>. Устремим <tex>m \to \infty</tex>: <tex>\forall n > N\ \forall x \in E : |S_n(x) - S(x)| \leq \varepsilon</tex>
  
 
Значит, определение равномерной сходимости проверено.
 
Значит, определение равномерной сходимости проверено.
Строка 81: Строка 84:
 
== Признак Вейерштрасса ==  
 
== Признак Вейерштрасса ==  
  
Существует простой признак для проверки равномерной сходимости(принак Вейерштрасса)
+
Существует простой признак для проверки равномерной сходимости (признак Вейерштрасса)
  
{{Определение
 
|definition=
 
 
Можно рассматривать <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty |f_n|</tex> и при этом сохраняется терминология числовых рядов,
 
Можно рассматривать <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty |f_n|</tex> и при этом сохраняется терминология числовых рядов,
 
связанная с абсолютной и условной сходимостью.
 
связанная с абсолютной и условной сходимостью.
}}
 
  
 
Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.
 
Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.
  
{{Утверждение
+
{{Теорема
 
|author=Вейерштрасс
 
|author=Вейерштрасс
 
|statement=
 
|statement=
<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex>, <tex>\forall x \in E : |f_n(x)| \leq a_n</tex>, <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n</tex> {{---}} сходится.
+
<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex>, <tex>\forall n \in \mathbb{N} </tex> , <tex> \forall x \in E : |f_n(x)| \leq a_n</tex>, <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n</tex> {{---}} сходится.
 
Тогда <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex> равномерно сходится на <tex>E</tex>.
 
Тогда <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex> равномерно сходится на <tex>E</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
Строка 101: Строка 101:
 
<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x) \right|</tex> <tex>\leq \sum\limits_{k = n}^m |f_k(x)|</tex> <tex>\leq \sum\limits_{k = n}^m a_k</tex>
 
<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x) \right|</tex> <tex>\leq \sum\limits_{k = n}^m |f_k(x)|</tex> <tex>\leq \sum\limits_{k = n}^m a_k</tex>
  
<tex>\sum\limits_{k = n}^m a_k < +\infty \Rightarrow \forall\varepsilon\ \exists N\ \forall m \geq n > N : \sum\limits_{k = n}^m a_k < \varepsilon</tex>
+
<tex>\sum\limits_{k = n}^m a_k < +\infty \Rightarrow \forall\varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall m \geq n > N : \sum\limits_{k = n}^m a_k < \varepsilon</tex>
  
 
Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно <tex>\forall x</tex>,
 
Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно <tex>\forall x</tex>,
  
<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \leq \varepsilon</tex>. Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится.
+
<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| < \varepsilon</tex>. Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится.
 +
}}
 +
== Признак Абеля-Дирихле ==
 +
{{Теорема
 +
|author=Абель-Дирихле
 +
|statement=Для равномерной сходимости на множестве <tex>E</tex> ряда <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n(x) b_n(x)</tex> , <tex> a_n:E \to \mathbb C</tex> и <tex> b_n:E \to \mathbb R</tex> достаточно, чтобы выполнялась пара условий <tex> \forall x \in E </tex>:
 +
 
 +
1)Частичные суммы <tex> S_k(x)= \sum\limits_{n = 1}^k a_n(x) </tex>  ряда <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n(x) </tex> равномерно ограничены на <tex>E</tex>;
 +
 
 +
2)Последовательность функций <tex>b_n(x)</tex> монотонна и равномерно сходится к нулю на <tex>E</tex>.
 +
 
 +
|proof=
 +
 
 +
Монотонность последовательности <tex>b_n(x)</tex> позволяет при каждом <tex>x \in E</tex> записать оценку:
 +
 
 +
<tex> |\sum\limits_{k = n}^m a_k(x) b_k(x)| \leq 4  max |A_k(x)| * max( |b_n(x)|, |b_m(x)| )</tex>       
 +
 
 +
где <tex> n - 1 \leq k \leq m </tex>  и в качестве <tex> A_k(x)</tex> возьмем <tex> S_k(x) - S_{n-1}(x) </tex> .
 +
 
 +
Если выполнена пара условий 1) и 2), то с одной стороны существует такая постоянная <tex>M</tex>,что <tex>|A_k(x)| \leq  M</tex> при любом <tex> k \in N </tex> и любом <tex>x \in E</tex>, а с другой стороны, какого бы ни было число <tex>\varepsilon > 0 </tex>, при всех достаточно больших значениях <tex>m</tex> и <tex>n</tex> и любом <tex> x\in E</tex> будет выполнено неравенство <tex> max( |b_n(x)|, |b_m(x)| ) < \frac{\varepsilon}{4M} </tex>. Значит, что при всех достаточно больших значениях <tex>m</tex> и <tex>n</tex> и любом <tex> x \in E </tex> будет <tex>|\sum\limits_{k = n}^m a_k(x) b_k(x)| < \varepsilon </tex>, т.е. для рассматриваемого ряда выполнен критерий Коши равномерной сходимости.
 
}}
 
}}
 +
 +
[[Определение функционального ряда|<<]] [[Операции анализа с функциональными рядами|>>]]
 +
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

Текущая версия на 15:12, 28 ноября 2019

Поточечная сходимость[править]

То, как была определена сумма функционального ряда, не учитывает то, что функция — закон соответствия, который каждому [math]x \in E[/math] сопоставляет некоторое число. При этом, все [math]x[/math] фигурировали изолированно.

Пусть на [math]E[/math] [math]f_n[/math] обладает свойством [math]P[/math](например, непрерывность на [math]E[/math]). И пусть для любого [math] x \in E [/math] есть предел соответствующей числовой последовательности. Возникает вопрос: "Будет ли [math]f = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_n[/math] обладать свойством [math]P[/math]?"

Приведем пример, показывающий, что если требовать лишь поточечной сходимости, то для [math] f [/math] свойство [math]P[/math] может отсутствовать.

[math]f_n = \begin{cases} -nx + 1, & x \in [0; \frac1n] \\ 0, & x \in (\frac1n; 1]\\ \end{cases}[/math]

Picture1.png

Все [math]f_n[/math] непрерывны на [math][0; 1][/math]. [math]f_n(0) = 1 \to 1[/math], [math]f(0) = 1[/math].

[math]0 \lt x \leq 1[/math]: [math]\frac1n \to 0[/math]. Тогда, начиная с некоторого [math]N[/math], все [math]\frac1N \lt x \Rightarrow f_n(x) = 0[/math]

Тогда [math]f[/math] будет разрывна в нуле, свойство непрерывности не сохранилось.

Равномерная сходимость[править]

Возникает вопрос: "Что ещё надо потребовать от поточечной сходимости, чтобы в пределе [math]P[/math] сохранилось?"

Классическое требование: равномерная сходимость.


Определение:
[math]f_1, f_2, \ldots[/math] равномерно сходится к [math]f(x)[/math], если

[math]\forall \varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall n \gt N\ \forall x \in E : |f_n(x) - f(x)| \lt \varepsilon[/math]

Пишут, что [math]f_n \rightrightarrows f[/math].


Определение:
Пусть на [math]E[/math] задан функциональный ряд [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math]. Тогда он равномерно сходится к

[math]f = \sum f_n[/math], если

[math]\forall\varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall n \gt N\ \forall x \in E : |S_n(x) - f(x)| \lt \varepsilon[/math]


Далее всё будем писать на языке функциональных рядов, так как их наиболее удобно использовать в математическом анализе, и вообще это очень круто и популярно.

Критерий Коши равномерной сходимости[править]

Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости):
Ряд равномерно сходится на [math]E[/math] [math]\iff[/math] [math]\forall\varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall m, n : m \geq n \gt N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \lt \varepsilon[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\Longrightarrow[/math] Пусть ряд равномерно сходится.

[math]\sum\limits_{k = n}^m f_k = S_m - S_{n - 1}[/math]

[math]\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k \right| = |(S_m - S) + (S - S_{n - 1})|[/math], где [math]S[/math] — сумма ряда. Тогда

[math]\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \leq |S_m - S| + |S_{n - 1} - S|[/math]

По определению равномерной сходимости, [math]\forall \varepsilon\ \exists N\ \forall p \gt N\ \forall x \in E : |S_p(x) - S(x)| \lt \varepsilon[/math].

[math]m, n - 1 \gt N [/math]

В силу предыдущего неравенства, [math]\forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \leq 2\varepsilon[/math], то есть, выполняется условие критерия Коши.


[math]\Longleftarrow[/math] Пусть выполняется условие критерия Коши.

[math]\forall x \in E[/math] для [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n(x)[/math] выполняется критерий Коши сходимости числовых рядов. Значит, этот ряд сходится. На всем [math]E[/math] определена его сумма. Осталось установить равномерную сходимость ряда.

По условию критерия Коши, [math]\forall m \geq n \gt N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x) \right| \leq \varepsilon[/math]

Как и в первой половине доказательства, [math]|S_m(x) - S_{n - 1}(x)| \leq \varepsilon[/math], но [math]S_p(x) \to S(x)[/math]. В неравенстве с [math]\varepsilon[/math] можно подставлять любой фиксированный [math]x[/math]. Устремим [math]m \to \infty[/math]: [math]\forall n \gt N\ \forall x \in E : |S_n(x) - S(x)| \leq \varepsilon[/math]

Значит, определение равномерной сходимости проверено.
[math]\triangleleft[/math]

Признак Вейерштрасса[править]

Существует простой признак для проверки равномерной сходимости (признак Вейерштрасса)

Можно рассматривать [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty |f_n|[/math] и при этом сохраняется терминология числовых рядов, связанная с абсолютной и условной сходимостью.

Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.

Теорема (Вейерштрасс):
[math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math], [math]\forall n \in \mathbb{N} [/math] , [math] \forall x \in E : |f_n(x)| \leq a_n[/math], [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n[/math] — сходится. Тогда [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math] равномерно сходится на [math]E[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Применим критерий Коши:

[math]\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x) \right|[/math] [math]\leq \sum\limits_{k = n}^m |f_k(x)|[/math] [math]\leq \sum\limits_{k = n}^m a_k[/math]

[math]\sum\limits_{k = n}^m a_k \lt +\infty \Rightarrow \forall\varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall m \geq n \gt N : \sum\limits_{k = n}^m a_k \lt \varepsilon[/math]

Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно [math]\forall x[/math],

[math]\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \lt \varepsilon[/math]. Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится.
[math]\triangleleft[/math]

Признак Абеля-Дирихле[править]

Теорема (Абель-Дирихле):
Для равномерной сходимости на множестве [math]E[/math] ряда [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n(x) b_n(x)[/math] , [math] a_n:E \to \mathbb C[/math] и [math] b_n:E \to \mathbb R[/math] достаточно, чтобы выполнялась пара условий [math] \forall x \in E [/math]:

1)Частичные суммы [math] S_k(x)= \sum\limits_{n = 1}^k a_n(x) [/math] ряда [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n(x) [/math] равномерно ограничены на [math]E[/math];

2)Последовательность функций [math]b_n(x)[/math] монотонна и равномерно сходится к нулю на [math]E[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Монотонность последовательности [math]b_n(x)[/math] позволяет при каждом [math]x \in E[/math] записать оценку:

[math] |\sum\limits_{k = n}^m a_k(x) b_k(x)| \leq 4 max |A_k(x)| * max( |b_n(x)|, |b_m(x)| )[/math]

где [math] n - 1 \leq k \leq m [/math] и в качестве [math] A_k(x)[/math] возьмем [math] S_k(x) - S_{n-1}(x) [/math] .

Если выполнена пара условий 1) и 2), то с одной стороны существует такая постоянная [math]M[/math],что [math]|A_k(x)| \leq M[/math] при любом [math] k \in N [/math] и любом [math]x \in E[/math], а с другой стороны, какого бы ни было число [math]\varepsilon \gt 0 [/math], при всех достаточно больших значениях [math]m[/math] и [math]n[/math] и любом [math] x\in E[/math] будет выполнено неравенство [math] max( |b_n(x)|, |b_m(x)| ) \lt \frac{\varepsilon}{4M} [/math]. Значит, что при всех достаточно больших значениях [math]m[/math] и [math]n[/math] и любом [math] x \in E [/math] будет [math]|\sum\limits_{k = n}^m a_k(x) b_k(x)| \lt \varepsilon [/math], т.е. для рассматриваемого ряда выполнен критерий Коши равномерной сходимости.
[math]\triangleleft[/math]

<< >>